Sub y supermultiplicatividad de normas para comprender la no localidad

Question

Sub y supermultiplicatividad de normas para comprender la no localidad

Física
no localidad
nivel de investigación
mecánica cuántica
física-matemática
entrelazamiento cuántico

Conde

En relación con varios problemas para comprender el entrelazamiento y la no localidad, me he encontrado con el siguiente problema matemático. Es mucho más conciso decirlo en su forma más matemática y no profundizar mucho. Sin embargo, espero que las personas interesadas en la teoría del entrelazamiento puedan ver cómo el problema es interesante/útil.

Aquí va. Tengo dos espacios vectoriales de dimensión finita. $A$ y $B$ y cada uno está equipado con una norma (espacios de Banach) tal que $||...||: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $||...||: B \rightarrow \mathbb{R}$ . Tanto los espacios vectoriales como las normas son isomorfos entre sí. Mi pregunta se refiere a las normas sobre el producto tensorial de estos espacios (para simplificar, digamos solo el producto tensorial algebraico) $A \otimes B$ y las normas duales. Primero permítanme decir algo que sé que es verdad.

Lema 1:
Si una norma $||...||$ en $A \otimes B$ satisface:
$||a \otimes b || \leq ||a|| . ||b||$ (sub-multiplicatividad)
entonces la norma dual satisface
$||a \otimes b ||_{D} \geq ||a||_{D} . ||b||_{D}$ (supermultiplicatividad)

donde definimos el dual de una norma de la manera habitual como
$|| a ||_{D}= \mathrm{sup} \{ |b^{\dagger}a| ; ||b|| \leq 1 \}$

Este lema surge a menudo, como en el análisis Matrix de Horn y Johnson, donde se usa para probar el teorema de la dualidad (que en dimensiones finitas, el bidual es igual a la norma original). $||..||_{DD}=||...|$ ).

Deseo saber el estado de la inversa, que conjeturo será contestada afirmativamente:

Conjetura:
Si una norma $||...||$ en $A \otimes B$ satisface:
$||a \otimes b || \geq ||a|| . ||b||$ (supermultiplicatividad)
entonces la norma dual satisface
$||a \otimes b ||_{D} \leq ||a||_{D} . ||b||_{D}$ (sub-multiplicatividad)

Mi pregunta es simplemente "¿es verdadera mi conjetura o alguien tiene un contraejemplo?".

Aunque me inclino a pensar que la conjetura es cierta, ciertamente no es tan fácil de probar como el primer lema establecido (que es una prueba de 3-4 líneas). La asimetría entra en la definición de una norma dual, que nos permite "adivinar" una respuesta separable a costa de haber subestimado el tamaño de la norma, ¡pero no podemos sobrestimarla tan fácilmente!

Respuestas (1)

Sub y supermultiplicatividad de normas para comprender la no localidad

Motl de Luboš · Answer 1

Motl de Luboš

Lo contrario obviamente no es cierto. La asimetría entre la supermultiplicatividad y la submultiplicatividad surge porque la norma dual siempre se define como un supremo y nunca como un ínfimo.

Para ver un contraejemplo, elija una dirección en $A\otimes B$ , por ejemplo una dirección de vectores que son de la forma $a\otimes b$ , y en un "rayo" muy pequeño cerca de esta dirección, defina la norma en el espacio del producto tensorial como

| | v | | = 1000 | | a | | \cdot | | b | |

$||v|| = 1000 ||a||\cdot ||b||$ Obviamente, la supermultiplicatividad aún se mantendrá porque hemos aumentado la norma en algún lugar del espacio del producto tensorial mientras la hemos mantenido constante en el resto.

Sin embargo, la norma dual se dispara con este pequeño cambio porque es suprema sobre todo. $c$ con $||c|| \leq 1$ que incluye $c\approx a\otimes b$ donde se amplificó la norma. En consecuencia, la norma dual para ciertos vectores duales se ha incrementado esencialmente a 1000 veces lo que era antes y ya no es submultiplicativa.

Advertencia: el argumento anterior es incorrecto. he malinterpretado $|b^\dagger a|$ como algo que depende de la norma original pero no es así. Es probable que la implicación revertida sea correcta al menos para algunas normas "convexas" para las cuales el cambio entre la norma y la norma dual es completamente reversible. Publique respuestas más completas si puede construirlas.

Bien, creo que el argumento básico aún puede solucionarse fácilmente. Tomar una norma natural y redefinir

| | v | | = 0.001 | | a | | \cdot | | b | |

$||v|| = 0.001 ||a||\cdot ||b||$ solo para algunos

v

$v$ siendo de la forma

C \cdot M (a \otimes b)

$C\cdot M(a\otimes b)$ dónde

a, b

$a,b$ son algunos vectores genéricos,

M

$M$ es una transformación cercana a la identidad que no se puede factorizar a los productos tensoriales de las transformaciones en los dos espacios, y

C \in R

$C\in{\mathbb R}$ . Esta reducción de la norma no estropea la supermultiplicatividad porque esta condición solo restringe los productos tensoriales y esta no es una. Sin embargo, en el espacio dual,

(a \otimes b)_{D}

$(a\otimes b)_D$ calculado por alguna forma dual no será submultiplicativo porque se ve afectado incluso por vectores "cercanos" en el espacio original, y permitimos que algunos vectores muy largos (de acuerdo con la norma original) influyan en el supremo.

Así que esto no se mantendrá para normas suficientemente inusuales. Algún tipo de convexidad que garantizaría que el procedimiento de dualización cuadra a uno podría ser suficiente para garantizar que su declaración inversa sea válida.

Conde

Gracias por tu respuesta. Aunque no estoy seguro de entender por qué dice que esto hace que la norma dual se dispare hacia arriba, habría pensado que hace que la norma de ciertos vectores duales se reduzca 1000 veces. si establecemos

| | a | | = | | b | | = 1

$||a||=||b||=1$ entonces

| | a \otimes b | | = 1000

$||a \otimes b ||=1000$ no es menor que 1 y por lo tanto no cae en la bola unitaria sobre la cual se evalúa el supremo. Más simplemente, si formulamos de manera equivalente la norma dual como una sup over

| u^{†} v | / | | v | |

$|u^{\dagger}v| / ||v||$ entonces parece que cualquier aumento ad hoc de

| | v | |

$||v||$ solo va a disminuir la norma dual.

Conde

Para ampliar lo anterior. Suponga que las normas base son la norma 2, y que en

A \otimes B

$A \otimes B$ tenemos una norma st

| | v | | \geq | | v | |_{2}

$||v|| \geq ||v||_{2}$ . Cuando

v = a \otimes b

$v=a \otimes b$ y usando

| | a \otimes b | |_{2} = | | a | |_{2} | | b | |_{2}

$||a \otimes b ||_{2}=||a||_{2}||b||_2$ , sigue la superaditividad. De esta subaditividad se sigue, como

| | v | |_{D} = sup_{v} {| u^{†} v | / | | u | |} \leq sup_{v} {| u^{†} v | / | | u | |_{2}} = | | v | |_{2}

$||v||_{D}= \sup_{v} \{ |u^{\dagger}v| / ||u|| \} \leq \sup_{v} \{ |u^{\dagger}v| / ||u||_{2} \} = ||v||_{2}$ . De esta puesta

v = a \otimes b

$v=a \otimes b$ y la multiplicidad de la 2-norma obtenemos la subaditividad.

Conde

Si hacemos tu ejemplo más explícito. Por ejemplo, decimos si

u = \sum_{j, k} c_{j, k} a_{j} \otimes b_{j}

$u=\sum_{j,k}c_{j,k} a_{j}\otimes b_{j}$ es una descomposición en una base específica y luego definir

| | u | | = \sqrt{\sum_{j, k} d_{j, k} c_{j, k}^{2}}

$||u||= \sqrt{ \sum_{j,k} d_{j,k} c_{j,k}^{2} }$ dónde

d_{j, k} = 1000

$d_{j,k}=1000$ cuando

j = k = 1

$j=k=1$ y

d_{j, k} = 1

$d_{j,k}=1$ de lo contrario, entonces se sigue que

| | u | | \geq | | u | |_{2}

$||u|| \geq ||u||_{2}$ ¡y entonces el dual debe ser realmente submultiplicativo!

Motl de Luboš

Puede haber un error en mi argumento, gracias por señalarlo. Lo miraré de nuevo.

Motl de Luboš

Estimado @Earl, creo que he solucionado el error en mi argumento y la conclusión no ha cambiado. Reduzca la norma original a 1/1000 de ella en un rayo de vectores que son "casi" factorizables por tensor. Esto no estropea la supermultiplicatividad porque solo los productos estrictamente tensoriales están restringidos. Sin embargo, la norma dual se verá afectada por este cambio, incluso la norma dual de vectores factorizables, y saltará 1000 veces más o menos, estropeando la submultiplicatividad. ¿Acordado? Alguna convexidad o desigualdad triangular para la norma podría ser suficiente para prohibir las normas variables de mi tipo y revivir tu teorema.

Conde

Ah, ya veo. Creo que tu corrección funciona ahora. Permítanme trabajar con un ejemplo aún más concreto. Considerar

u

$u$ en el intervalo

u_{λ} = λ a_{0} \otimes b_{0} + (1 - λ) a_{1} \otimes b_{1}

$u_{\lambda}=\lambda a_{0}\otimes b_{0}+(1-\lambda)a_{1}\otimes b_{1}$ , y definir una norma tal que

| | u | | = (2 λ - 1)^{2} + ϵ

$||u||= (2 \lambda-1)^{2} + \epsilon$ dónde

ϵ

$\epsilon$ es pequeño pero distinto de cero (por ejemplo, 1/1000).

| | u | |

$||u||$ es supermultiplicativa en productos tensoriales y convexa. Entonces

| | a_{0} \otimes b_{0} | |_{D} \geq | u_{λ = 1 / 2} v^{†} | / | | u_{λ = 1 / 2} | | = 1 / (2 ϵ)

$|| a_{0}\otimes b_{0} ||_{D} \geq |u_{\lambda=1/2}v^{\dagger}|/||u_{\lambda=1/2}|| = 1/(2 \epsilon)$ que puede hacerse arbitrariamente grande.

Conde

Por último, un comentario más. Creo que las condiciones bajo las cuales se cumple lo contrario son precisamente cuando existe una norma cruzada

η (u)

$\eta(u)$ (por ejemplo, la norma cruzada más pequeña) tal que

| | u | | \geq η (u)

$||u|| \geq \eta (u)$ . Entonces uno puede seguir el argumento que usé en algunos comentarios para el caso más específico de la norma 2. Sin embargo, sus contraejemplos son tan profundamente convexos que logran valores más bajos que cualquier norma cruzada.

Motl de Luboš

Estimado @Earl, ¡pensé que mis contraejemplos patológicos (su conjunto de vectores con una norma menor que 1) fallan profundamente en ser convexos, en lugar de ser profundamente convexos! ;-)

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