¿Por qué las teorías ontológicas no contextuales no pueden tener correlaciones más fuertes que las teorías conmutativas?

Bueno, un enfoque razonable para las variables ocultas locales es requerir la conmutatividad de los operadores en diferentes sistemas separados similares al espacio. Esto es bastante sencillo de motivar, ya que, de lo contrario, esencialmente está utilizando operadores no locales, que se pueden ver a través de la transformación relevante en lugar de una teoría de variables ocultas no locales con operadores locales.

Es posible que desee consultar el artículo de Scott Aaronson que explora la consecuencia de esto cuando se toma como un axioma junto con algunas otras propiedades deseables de las teorías de variables ocultas ( Phys. Rev. A 71, 032325 ).

No estoy muy seguro de que tenga sentido hablar de conmutatividad más allá de esto, dado que nos preocupamos por los resultados posteriores a la medición, no está claro que el dominio del operador deba contener su imagen, por lo que la multiplicación y, por lo tanto, el conmutador, no lo es. t necesariamente definido.

La no conmutatividad de los operadores asegura que, en general, no podemos construir una distribución de probabilidad conjunta sobre los observables que modelamos usando esos operadores. En algunos estados y para algunoselecciones de operadores que no conmutan, podemos construir distribuciones de probabilidad conjuntas, por ejemplo, el estado de vacío y los estados coherentes de un oscilador armónico simple cuantificado generan una función de Wigner definida positiva para la posición y el momento, que puede tomarse como una distribución de probabilidad. Por supuesto, esa posibilidad se desmorona cuando se considera casi cualquier superposición de estados coherentes, por ejemplo. La función de Wigner no es definida positiva en el caso general, lo que hace que la interpretación de la función de Wigner como una distribución de probabilidad en los casos especiales sea bastante tendenciosa.

Por el contrario, si tenemos un álgebra conmutativa de operadores, podemos construir una distribución de probabilidad conjunta sobre cualquier subconjunto de los observables en cualquier estado sobre el álgebra. Se podría tomar esta propiedad como una definición algo plausible de clasicismo.

Para la base técnica de esto, me gustan más dos artículos breves, John Baez, Letters in Mathematical Physics 13 (1987) 135-136, y Lawrence J. LANDAU, PHYSICS LETTERS A, Volume 120, number 2 (1987), que ponen notablemente poca interpretación en el camino de las matemáticas, pero hay una literatura sustancial que ha tratado de llegar a esta relación de alguna manera clara.

Una literatura que brinda una forma alternativa de la relación entre la no conmutatividad y la medición, y que se enfoca en la relación entre la teoría cuántica y la teoría clásica de la probabilidad de una manera que encuentro útil, aunque no concluyente, es el enfoque de medida valorada por operador positivo. , que está bien representado por el libro de Paul Busch, Marian Grabowski y Pekka J. Lahti, Operational Quantum Physics , Springer, 1995. Buscar en la literatura o en ArXiv algo más reciente de cualquiera de estos tres autores le dará algo esclarecedor. leer. Para mi gusto, siempre vale la pena leer a Paul Busch .

En lo que respecta a la fisicalidad, la física clásica modela las mediciones como si no afectaran a otras mediciones, de modo que son posibles distribuciones de probabilidad conjuntas sobre múltiples mediciones. En presencia de cualquier nivel finito de ruido ---siempre hay ruido, en todas partes (solo el componente térmico del ruido desaparece cuando uno está cerca del cero absoluto, el componente cuántico invariante de Lorentz del ruido no es controlable)-- - la naturaleza descontrolada del ruido es algo que debe ser acomodado por nuestros modelos de nuestras medidas. La teoría cuántica acomoda los efectos no triviales de las mediciones conjuntas entre sí mediante la introducción de la no conmutatividad de los operadores que se utilizan para modelar las mediciones. mientras que la física clásica modela los efectos no triviales de las mediciones conjuntas entre sí mediante el modelado del aparato de medición. Los modelos contextuales son precisamente modelos que incluyen el aparato de medida, o el aparato experimental completo, en el caso extremo todo el universo, no sólo un sistema medido putativo.

Eso es algo criticado. Espero que alguien lo encuentre agradable.

No creo que haya una conexión más directa entre la no contextualidad y la no conmutatividad por un par de razones. En primer lugar, hay conjuntos no conmutativos de observables y estados que puedenser simulado por un modelo no contextual. Piense en el modelo de Kochen-Specker para un qubit, por ejemplo. En segundo lugar, para responder realmente a la pregunta de qué significa una violación de alguna desigualdad, no debe asumir que los datos que recopila en el experimento son necesariamente producidos por la teoría cuántica (en particular, no hacemos esto para las desigualdades de Bell). Ahora, hay muchas teorías operativas que son contextuales (en el sentido de Rob Spekkens) pero que no tienen una estructura algebraica C*, por ejemplo, la teoría en la que el espacio de estado es un cuadrado. A menos que pueda definir qué significa que las medidas en estas teorías sean "conmutativas", lo que parece poco probable porque no tienen una estructura algebraica, entonces está claro que la relación entre conmutatividad y no contextualidad se rompe en este contexto.

No pueden, porque las teorías ontológicas no contextuales no son más generales que conmutar subconjuntos de la mecánica cuántica. En pocas palabras, la mecánica cuántica conmutativa es simplemente la teoría clásica de la probabilidad, y la cuestión de si existe un modelo ontológico no contextual para la mecánica cuántica es precisamente la cuestión de si puede reducirse a la teoría clásica de la probabilidad.

Para ver esto, se necesita la definición operativa de contextualidad de Spekkens: un modelo ontológico no contextual es aquel en el que cada estado$\rho$está representado por una distribución de probabilidad$\mu_\rho(\lambda)$en un espacio ontológico$\Lambda$, y cada POVM$\{E^k\}$por una distribución de probabilidad$\xi_{E^k}(λ)$. Entonces la probabilidad de resultado$k$será dado por

Ahora bien, si todo$E^k$viajar, puedo escribir$ρ$en una base en la que son diagonales. Después

En el caso particular de la no localidad, uno podría ver directamente que una diagonal$\rho$es siempre separable, y por tanto admite un modelo ontológico local. El camino inverso, para construir un separable$\rho$y el álgebra conmutativa de un modelo ontológico local es esencialmente el mismo que el anterior.

Dicho esto, no creo que mi última pregunta esté respondida; Todavía me gustaría ver una conexión física más directa entre la no conmutatividad y la contextualidad.