Elección de fijación de calibre para el campo de calibre A0A0A_0

La condición de "fijación del calibre"$A_0=0$llamado indicador temporal o indicador de Weyl, consulte la siguiente página de Wikipedia ). Esta condición es solo una condición de fijación de calibre parcial porque, el Yang-Mills Lagrangian permanece invariante de calibre bajo transformaciones de calibre independientes del tiempo:

$A_i \to g A_i g^{-1} - \partial_i g g^{-1}, i=1,2,3$

con$g$tiempo independiente.

Sin embargo, esta no es toda la historia: la derivada temporal de$A_0$no aparece en el Lagrangiano de Yang-Mills. Por lo tanto, no es una variable dinámica. Es simplemente el multiplicador de Lagrange. Su ecuación de movimiento es simplemente la ley de Gauss:

$\nabla.E=0$.

No se puede obtener esta ecuación después de establecer$A_0 = 0$. Por lo tanto, debe agregarse como una restricción y debe exigirse que desaparezca en la cuantificación canónica de los estados físicos. (Esta es la razón por la que se llama restricción de la ley de Gauss).

I) Elijamos la siguiente convención

para una transformación de norma no abeliana. Para ser concretos, supongamos que el grupo de calibre$G$es cualquiera$U(N)$o$SU(N)$.

II) Entonces la pregunta de OP se convierte en

¿Existe una transformación de indicador definida globalmente?$g\in G$de modo que$A^{\prime}_0=0$?

O equivalente,

¿Existe un calibre temporal globalmente definido?

Respuesta: Sí, elija, por ejemplo, la siguiente transformación de calibre como una línea de Wilson ordenada en el tiempo

(Hay una fórmula similar para$t\leq 0$.) Esto es posible si el lado derecho está bien definido, es decir, si el potencial de calibre temporal anterior$A_0$es integrable en el tiempo.

Además de las respuestas anteriores, esto es completamente obvio en la teoría de calibre de celosía. Esto muestra que los calibres axiales y temporales están bien definidos, y también brinda una prescripción de fijación de calibre completa que elimina las ambigüedades de calibre residuales. Es la versión de celosía de la respuesta de Qmechanic y Bar-Moshe.

En una red, hay un elemento de grupo para cada vínculo de red. Existe la libertad de multiplicar por un elemento de grupo en cualquier punto. Entonces, para arreglar completamente un indicador, todo lo que tiene que hacer es elegir una ruta única a este punto desde alguna posición inicial, y esto le da un elemento de grupo único en cada punto para multiplicar.

Haga que esta posición sea el origen y defina la ruta de la siguiente manera:

siga el eje x hasta la coordenada x del punto, luego siga paralelo al eje y hasta las coordenadas x,y del punto (todavía en z=0 t=0), luego siga paralelo al eje z a la z adecuada, luego paralela al eje t. Multiplicando todos los elementos del grupo en el orden en que los encuentras. Luego gire por esta matriz en este punto.

Esto establece el elemento del grupo de calibre en la dirección t a la identidad, esto es equivalente a establecer el campo de calibre continuo en cero. También establece el campo de calibre en la dirección z en cero en la superficie t=0, establece el campo de calibre en la dirección y y z en cero en el plano xy, y todo el campo de calibre en cero a lo largo del eje x. .

Esta es una corrección de calibre de celosía completa y no perturbativa, que deja solo el grupo de calibre global intacto. Corresponde al calibre axial, porque está en un tiempo imaginario, pero hacer la fijación del calibre temporal heurísticamente sin regulador es idéntico a lo explicado por Qmechanic, y no hay problemas de principio (aunque, como dijo Bar Moshe, hay que tener cuidado para no descartar las ecuaciones de restricción de movimiento que surgen al variar el campo de calibre en las direcciones que violan la condición de calibre).