¿Cómo probar que los fantasmas de Faddeev-Popov son innecesarios para la teoría de Yang-Mills con calibre axial?

Los fantasmas de Faddeev-Poppov entran en escena al agregar el término de fijación de calibre

Es por la misma razón que son innecesarios en las teorías abelianas. El término fantasma FP se multiplica$e^{iS}$por$\exp-\int d^4 x \bar{c}\partial_\mu D^\mu c=\det \partial_\mu D^\mu$, un determinante que se puede cancelar a partir del numerador y el denominador de las medias de los operadores en el formalismo de la integral de trayectoria, siempre que sea constante en el espacio-tiempo. Y si la interacción es abeliana o en el calibre axial, esto se reduce a$\det \square$.

La esencia del procedimiento de Faddev-Popov es que una condición de calibre de la forma

(donde en el indicador Lorentz modificado $S= \partial_\mu A^a_\mu$o en el calibre axial $S= n_\mu A_\mu$) producirá un Lagrangiano de fijación de norma de la forma

y con$(A')_\mu^a$el campo transformado por calibre - un fantasma Lagrangiano de la forma

hasta algunas constantes de la derivada funcional que están siendo absorbidas en los campos fantasma. En la última ecuación, la$A_\mu^a$término es el campo transformado de norma. Sabemos que el campo de norma se transforma con

dónde$D_\mu ^{ac}= \partial _\mu \delta ^{ac} + g f^{abc} A_\mu ^b$es la derivada covariante que actúa sobre un campo en la representación adjunta. Tomando el calibre axial y realizando la derivada funcional terminamos con un Lagrangiano fantasma

Aquí podemos ver que si$n_\mu A_\mu ^a = 0$ya no hay interacción entre los fantasmas y el campo de medición.