Prueba de que no puedes desenredar dos partes si solo operas en una

Question

Prueba de que no puedes desenredar dos partes si solo operas en una

Física
operador de densidad
mecánica cuántica
información cuántica
entrelazamiento cuántico
mediciones cuánticas

AmistosoLagrangiano

Dejar $A$ y $B$ ser dos sistemas entrelazados. ¿Alguien puede probar o esbozar una prueba de por qué no puedes desenredar $A$ y $B$ con solo actuar sobre $A$ o $B$ ¿solo? es decir, solo aplicando $\mathbb{I}_A\otimes U_B$ , con $U_B$ unitario.

Tobias Funke

Posible duplicado: ¿Se mantiene el entrelazamiento cuántico después de la medición? .

AmistosoLagrangiano

@Jakob ¿no es esa pregunta sobre medidas?

Tobias Funke

En la primera versión de su pregunta, no especificó

U_{B}

$U_B$ , por lo que una proyección sería una elección válida. Por cierto, el título de su pregunta realmente no coincide con la pregunta en sí: can vs cant

AmistosoLagrangiano

@Jakob Gracias por los comentarios, ¡tienes razón! yo tambien edite eso

ComptonDispersión

¿No es esta pregunta tautológica? El enredo se define como una propiedad que no puede aumentar con las operaciones LOCC y, por lo tanto, es monotono en cualquier operación LOCC reversible.

glS

@ComptonScattering Diría que es más común definir el entrelazamiento como la propiedad de un estado que no es una mezcla convexa de estados de productos, con sus relaciones con las operaciones LOCC derivadas de eso

ComptonDispersión

@glS No sé si eso es obviamente cierto. P.ej. "el enredo puede definirse como el tipo de correlaciones que no pueden ser creadas solo por LOCC". (Plenio & Virmani 2006), o "Formalmente [una medida de entrelazamiento] es cualquier función real no negativa de un estado que no puede aumentar bajo LOCC, y es cero para estados separables". (Cuantiki)

glS

@ComptonScattering una medida de enredo se define así, claro, pero eso no es lo mismo que la definición de enredo. Y yo diría que no define el enredo a través de LOCC por la sencilla razón de que no es trivial definir con precisión cómo se ven los canales LOCC. Necesita introducir instrumentos cuánticos y todo eso para poder escribir la estructura de las operaciones LOCC. Pero incluso el hecho de que necesita conocer el formalismo de mapas y canales para hablar sobre LOCC, mientras que el enredo se puede definir sin eso

ComptonDispersión

@glS definir operaciones LOCC parece preferible a usar frases nebulosas como "El enredo de

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ está codificado en los coeficientes de Schmidt" sin explicación.

glS

@ComptonScattering de hecho, no es así como se define el enredo. Simplemente define el entrelazamiento como la imposibilidad de escribir el estado como una mezcla convexa de estados de productos. La relevancia de los coeficientes de Schmidt ni siquiera es particularmente obvia para los estados no puros. La pregunta es, ¿conoce una buena manera de definir qué son las operaciones LOCC? Y me refiero formalmente, no solo decir con palabras "operaciones que se pueden implementar con tal y tal", lo cual es intuitivo, pero no se puede usar para caracterizar tales canales en la práctica.

Respuestas (2)

Prueba de que no puedes desenredar dos partes si solo operas en una

Posible duplicado: ¿Se mantiene el entrelazamiento cuántico después de la medición? .
En la primera versión de su pregunta, no especificó $U_B$ , por lo que una proyección sería una elección válida. Por cierto, el título de su pregunta realmente no coincide con la pregunta en sí: can vs cant
@Jakob Gracias por los comentarios, ¡tienes razón! yo tambien edite eso
¿No es esta pregunta tautológica? El enredo se define como una propiedad que no puede aumentar con las operaciones LOCC y, por lo tanto, es monotono en cualquier operación LOCC reversible.
@ComptonScattering Diría que es más común definir el entrelazamiento como la propiedad de un estado que no es una mezcla convexa de estados de productos, con sus relaciones con las operaciones LOCC derivadas de eso
@glS No sé si eso es obviamente cierto. P.ej. "el enredo puede definirse como el tipo de correlaciones que no pueden ser creadas solo por LOCC". (Plenio & Virmani 2006), o "Formalmente [una medida de entrelazamiento] es cualquier función real no negativa de un estado que no puede aumentar bajo LOCC, y es cero para estados separables". (Cuantiki)
@ComptonScattering una medida de enredo se define así, claro, pero eso no es lo mismo que la definición de enredo. Y yo diría que no define el enredo a través de LOCC por la sencilla razón de que no es trivial definir con precisión cómo se ven los canales LOCC. Necesita introducir instrumentos cuánticos y todo eso para poder escribir la estructura de las operaciones LOCC. Pero incluso el hecho de que necesita conocer el formalismo de mapas y canales para hablar sobre LOCC, mientras que el enredo se puede definir sin eso
@glS definir operaciones LOCC parece preferible a usar frases nebulosas como "El enredo de $|\Psi\rangle$ está codificado en los coeficientes de Schmidt" sin explicación.
@ComptonScattering de hecho, no es así como se define el enredo. Simplemente define el entrelazamiento como la imposibilidad de escribir el estado como una mezcla convexa de estados de productos. La relevancia de los coeficientes de Schmidt ni siquiera es particularmente obvia para los estados no puros. La pregunta es, ¿conoce una buena manera de definir qué son las operaciones LOCC? Y me refiero formalmente, no solo decir con palabras "operaciones que se pueden implementar con tal y tal", lo cual es intuitivo, pero no se puede usar para caracterizar tales canales en la práctica.

SolublePeces · Answer 1

Si hubiera algún operador unitario factorizado como $\mathbb I_A \otimes U_B$ que enviaría el estado enredado $|\psi\rangle$ a un estado factorizado $|\phi_A\rangle\otimes |\phi_B\rangle$ , es decir :

| ϕ_{A} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩ = (I_{A} \otimes {tu}_{B}) | ψ ⟩

$|\phi_A\rangle\otimes |\phi_B\rangle = (\mathbb I_A\otimes U_B)|\psi\rangle$

Entonces, tendríamos:

| ψ ⟩ = (I_{A} \otimes {tu}_{B}^{†}) (| ϕ_{A} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩) = | ϕ_{A} ⟩ \otimes ({tu}_{B}^{†} | ϕ_{B} ⟩)

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ está enredado.

En resumen, los operadores unitarios factorizados preservan los estados desenredados, por lo que también deben preservar los estados enredados.

Editar : el entrelazamiento es independiente de la base. Un estado es desenredado si puede escribirse como un estado producto en alguna base , y enredado si no puede factorizarse en ninguna base .

Gracias por la respuesta ! Corregí este error tipográfico.
Estoy un poco confundido porque el entrelazamiento depende de la base. Entonces, en principio, si $|\psi\rangle$ se enreda entonces $| ψ ⟩ = \sum_{norte} | ϕ_{norte} ⟩ ⟨ ϕ_{norte} | ψ ⟩$ $|\psi \rangle = \sum_n |\phi_n\rangle \langle \phi_n | \psi\rangle$ pueden ser separables en la nueva base. Pero no podemos decir que $I = \sum_{norte} | ϕ_{norte} ⟩ ⟨ ϕ_{norte} | ?$ $\mathbb{I} = \sum_n |\phi_n \rangle \langle \phi_n| \ ?$ que a su vez es $I = I_{A} \otimes I_{B} = {tu}_{A} \otimes {tu}_{B}$ $\mathbb{I} = \mathbb{I}_A\otimes \mathbb{I}_B=U_A\otimes U_B$
¿Por qué crees que el entrelazamiento depende de la base? Cf. este hilo de PSE

glS · Answer 2

Para una prueba "positiva" (como en una prueba no por contradicción), escriba la descomposición de Schmidt de un estado puro bipartito genérico $|\Psi\rangle\in\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ como

| Ψ ⟩ = \sum_{k} \sqrt{{pag}_{k}} (| {tu}_{k} ⟩ \otimes | v_{k} ⟩),

$|\Psi\rangle=\sum_k \sqrt{p_k}(|u_k\rangle\otimes|v_k\rangle),$ por algunos reales positivos

p_{k} \geq 0

$p_k\ge0$ sumando a la identidad, y bases ortonormales

| u_{k} ⟩

$|u_k\rangle$ y

| v_{k} ⟩

$|v_k\rangle$ . Tenga en cuenta que siempre puede hacerlo: esta descomposición equivale a la SVD de

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ cuando se piensa en un operador

H_{B} \to H_{A}

$\mathcal H_B\to\mathcal H_A$ .

el enredo de $|\Psi\rangle$ luego se codifica en los coeficientes de Schmidt $(\sqrt{p_k})_k$ . Esta afirmación puede precisarse, por ejemplo, a través de la teoría de la mayorización y su relación con el entrelazamiento. Lo que nos importa aquí es simplemente que los estados separables (que son iguales a los productos de los estados puros) son todos y solo aquellos con coeficientes de Schmidt iguales a $(1,0,0,...)$ , hasta la permutación de los elementos.

Ahora, observe que las operaciones unitarias locales no afectan los coeficientes de Schmidt . Esto se ve trivialmente escribiendo

(tu \otimes V) | Ψ ⟩ = \sum_{k} \sqrt{{pag}_{k}} ((tu | {tu}_{k} ⟩) \otimes (V | v_{k} ⟩)),

$(U\otimes V)|\Psi\rangle = \sum_k \sqrt{p_k} ((U|u_k\rangle)\otimes (V|v_k\rangle)),$ y recordando que

{| u_{k} ⟩}_{k}

$\{|u_k\rangle\}_k$ es una base ortonormal si y solo si

{U | u_{k} ⟩}_{k}

$\{U|u_k\rangle\}_k$ es, para cualquier unidad

U

$U$ .

Entonces, no solo las operaciones unitarias locales no pueden desenredar estados: no pueden afectar el enredo de ninguna manera. Vale la pena señalar que este no es el caso de las operaciones locales genéricas: las operaciones locales no unitarias pueden degradar absolutamente el entrelazamiento. El ejemplo estándar de esto son los canales para romper enredos. Un canal para romper enredos $\Phi$ es tal que $(\Phi\otimes I)\rho$ es separable, para cualquier (posiblemente enredado) $\rho$ . Vea esta respuesta para una prueba de esto.

Prueba de que no puedes desenredar dos partes si solo operas en una

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El estado de mezcla máxima está en el centro de todos los estados cuánticos.

¿Es separable cualquier estado bipartito "mediblemente independiente"?

¿Cuál es la intuición detrás del isomorfismo de Choi-Jamiolkowski?

Dadas las matrices de densidad de los subsistemas, ¿es posible en general recuperar la matriz de densidad de todo el sistema?

Enredo de los estados de Werner

Libro cuántico de pregrado que trata operadores de densidad, estados mixtos y entrelazamiento [duplicado]

¿La correlación de los resultados de la medición implica que un estado está entrelazado?

Medición en estados mixtos

Correlaciones clásicas y cuánticas en sistema bipartito

Correlaciones clásicas en estado mixto entrelazado bipartito