¿Cuál es la intuición detrás del isomorfismo de Choi-Jamiolkowski?

la intuición

Consideremos un canal$\mathcal E$, que queremos aplicar a un estado$\rho$. (Esto también podría ser parte de un sistema más grande). Ahora considere el siguiente protocolo para aplicar$\mathcal E$a$\rho$:

1. Denotar el sistema de$\rho$por$A$. Agregar un estado de enredo máximo$|\omega\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{D}}\sum_{i=1}^D|i,i\rangle$de la misma dimensión entre sistemas$B$y$C$:

   

2. Ahora proyectos de sistemas$A$y$B$en$|\omega\rangle$:

   

   [Esto puede entenderse como una teletransportación donde solo tenemos que considerar el resultado "bueno", es decir, donde no tenemos que hacer una corrección de Pauli (generalizada) en$C$, ver también la discusión.]
   Nuestra intuición sobre la teletransportación (o un simple cálculo) nos dice que ahora tenemos el estado$\rho$en el sistema$C$:

   

3. Ahora podemos aplicar el canal.$\mathcal E$a$C$, dando el estado deseado$\mathcal E(\rho)$en el sistema$C'$:

   

Sin embargo, los pasos 2 y 3 conmutan (2 actúa sobre$A$y$B$, y 3 actos sobre$C$), por lo que podemos intercambiar el orden y reemplazar 2+3 por 4+5:

4. Aplicar$\mathcal E$a$C$, que es la parte derecha de$|\omega\rangle$:

   

   Esto da como resultado un estado$\eta=(\mathbb I\otimes \mathcal E) (|\omega\rangle\langle\omega|)$, que no es más que el estado Choi de$\mathcal E$:

   

   (Este es el paso 3 original).

5. Ya podemos realizar el paso 3 original: Proyecto$A$y$B$sobre$|\omega\rangle$:

   

   Al hacerlo, obtenemos$\mathcal E(\rho)$en$C'$:

   

Los pasos 4 y 5 son exactamente el isomorfismo de Choi-Jamiolkowski:

• El paso 4 nos dice cómo obtener el estado Choi$\eta$para un canal$\mathcal E$
• El paso 5 nos dice cómo podemos construir el canal a partir del estado

Pasar por las matemáticas produce fácilmente la expresión para obtener$\mathcal E$de$\mathcal \eta$dado en la pregunta:

$$\begin{align*} \mathcal E(\rho) &= \langle \omega|_{AB}\rho_A\otimes \eta_{BC}|\omega\rangle_{AB}\\ & \propto \sum_{i,j} \langle i|\rho_A|j\rangle_{A} \langle i|_B\eta_{BC} |j\rangle_B \\ & = \mathrm{tr}_B[(\rho_B^T\otimes \mathbb I_C) \eta_{BC}]\ . \end{align*}$$

Discusión

La intuición anterior está estrechamente relacionada con la computación cuántica basada en la teletransportación y la computación cuántica basada en la medición. En la informática basada en la teletransportación, primero preparamos el estado de Choi$\eta$de una puerta$\mathcal E$de antemano, y posteriormente "teletransportarse a través de$\eta$", como en el paso 5. La diferencia es que no podemos posseleccionar el resultado de la medición, por lo que tenemos que permitir todos los resultados. Esto es, dependiendo del resultado$k$, hemos implementado (para qubits) el canal$\mathcal E(\sigma_k \cdot \sigma_k)$, dónde$\sigma_k$es una matriz de Pauli, y generalmente$\mathcal E$es unitario. Si elegimos nuestras puertas con cuidado, tienen relaciones de conmutación "agradables" con las matrices de Pauli, y podemos explicar eso en el curso del cálculo, al igual que en la computación basada en medidas. De hecho, la computación basada en mediciones puede entenderse como una forma de realizar computación basada en teletransportación de manera que en cada paso, solo se permiten dos resultados en la teletransportación y, por lo tanto, solo puede ocurrir una corrección de Pauli.

Aplicaciones

En resumen, el isomorfismo de Choi-Jamiolkowski permite mapear muchos enunciados sobre estados a enunciados sobre canales y viceversa. Por ejemplo, un canal es completamente positivo exactamente si el estado de Choi es positivo, un canal se rompe por enredos exactamente si el estado de Choi es separable, y así sucesivamente. Claramente, el isomorfismo es muy sencillo y, por lo tanto, se podría transferir igualmente cualquier prueba de los canales a los estados y viceversa; sin embargo, muchas veces es mucho más intuitivo trabajar con uno u otro, y transferir los resultados más adelante.

Así es como lo he entendido y tal vez te resulte útil:

Supongamos que tiene un mapa (canal)$\Phi$que actúa sobre un sistema$A$. Si$A$existe en el estado$\rho$podemos escribir,

$$\Phi(\rho) = \Phi(\rho_{ij}|i\rangle\langle j|) = \rho_{ij}\Phi(|i\rangle\langle j|)$$

Donde sigue el último paso anterior porque la mecánica cuántica es una teoría lineal. Esto significa que conociendo las matrices$\Phi(|i\rangle\langle j|)$para cada$i$y$j$nos ayuda a definir la acción del mapa en cualquier matriz de densidad general y, por lo tanto, nos ayuda a definir el mapa en sí.

Nota:$\Phi(|i\rangle\langle j|)$anterior es una cantidad físicamente sin sentido porque$|i\rangle\langle j|$no es, en general, una matriz de densidad válida. Por ahora, dejemos que solo represente una de las matrices que representan el mapa$\Phi$y lo que puede significar físicamente lo veremos más adelante.

Ahora suponga que tiene dos sistemas de la misma dimensión que$A$. Tú tienes$A \otimes B$que ha sido preparado en el estado Choi dado por$|\Psi\rangle = \Sigma_i |i_Ai_B\rangle$. Consideremos la acción del mapa$\Phi \otimes I$(que es un mapa de transformación válido) en este sistema bipartito.

$$\Phi \otimes I(\Sigma_{ij}|i_Ai_B\rangle\langle j_Aj_B|) = \Sigma_{ij}\Phi(|i_A\rangle\langle j_A|)|i_B\rangle\langle j_B|$$

Y suponga que puede realizar físicamente la medición$\langle i_B|\sigma |j_B\rangle$en el estado anterior lo que obtienes es$\Phi(|i\rangle\langle j|)$sí mismo.

Así todo sobre$\Phi$está codificado en el estado$\Phi \otimes I(|\text{Choi_state}\rangle)$y viceversa.