¿Es separable cualquier estado bipartito "mediblemente independiente"?

Question

¿Es separable cualquier estado bipartito "mediblemente independiente"?

Física
mecánica cuántica
información cuántica
entrelazamiento cuántico
mediciones cuánticas

creillyucla

¿Es cierto que cualquier estado bipartito que sea "mediblemente independiente" es separable?

estoy definiendo un estado $|\psi \rangle \in A \otimes B$ ser "mediblemente independiente" si:

Las probabilidades de los diferentes resultados de una medición de cualquier $\hat{O}_B$ del sistema $B$ no se ve afectado por una medición anterior de cualquier observable $\hat{O}_A$ del sistema $A$ , y viceversa.

Lo pregunto porque el enredo se define típicamente en términos de separabilidad, pero intuitivamente pienso en el enredo como una violación de la independencia medible. Es fácil demostrar que los estados separables son mediblemente independientes, pero ¿podría haber estados medibles independientes que no sean separables?

Hasta ahora, al establecer $\hat{O}_A$ y $\hat{O}_B$ a los operadores de proyección $|\phi_A\rangle \langle \phi_A|$ y $|\phi_B\rangle \langle \phi_B|$ para estados $|\phi_A\rangle \in A$ y $|\phi_B\rangle \in B$ , puedo demostrar que:

PAG (| ϕ_{A} ⟩, | ϕ_{B} ⟩) = PAG (| ϕ_{A} ⟩) PAG (| ϕ_{B} ⟩)

$P(|\phi_A\rangle,|\phi_B\rangle)=P(|\phi_A\rangle)P(|\phi_B\rangle)$ para cualquier estado medible y cualquier estado

| ϕ_{A} ⟩

$|\phi_A\rangle$ y

| ϕ_{B} ⟩

$|\phi_B\rangle$ (

P

$P$ significa probabilidad). Si puedo demostrar que para estados medibles independientes siempre tenemos algunos

| ϕ_{A} ⟩

$|\phi_A\rangle$ y

| ϕ_{B} ⟩

$|\phi_B\rangle$ tal que

P (| ϕ_{A} ⟩) = P (| ϕ_{A} ⟩) = 1

$P\left(|\phi_A\rangle\right)=P(|\phi_A\rangle)=1$ entonces la prueba está lista, pero estoy atascado en este paso.

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SolublePeces · Answer 1

Dejar $|\Psi\rangle$ ser un estado puro mensurable e independiente. La descomposición de Schmidt nos da:

| Ψ ⟩ = \sum_{i} \sqrt{{pag}_{i}} | X_{i} ⟩ \otimes | y_{i} ⟩

$|\Psi\rangle = \sum_i \sqrt{p_i} |x_i\rangle \otimes |y_i\rangle$

donde el $|x_i\rangle$ (resp. $|y_i\rangle$ ) forman una base ortonormal de $A$ (resp. $B$ ).

Entonces, para el observable $\hat O_B =|y_{i_0}\rangle\langle y_{i_0}|$ , el valor esperado es :

⟨ {\hat{O}}_{B} ⟩_{Ψ} = \sum_{i} {pag}_{i} ⟨ y_{i} | {\hat{O}}_{B} | y_{i} ⟩ = {pag}_{i_{0}}

$\langle \hat O_B \rangle_\Psi = \sum_i p_i \langle y_i|\hat O_B|y_i\rangle = p_{i_0}$

Si $0<p_{i_0}<1$ ), luego después de una medida del observable $\hat O_A = |x_{i_0}\rangle\langle x_{i_0}|$ , los posibles estados son :

| Ψ_{1} ⟩ = | X_{i_{0}} ⟩ \otimes | y_{i_{0}} ⟩ y | Ψ_{2} ⟩ = \sum_{i \neq i_{0}} \frac{\sqrt{{pag}_{i}}}{1 - {pag}_{i_{0}}} | X_{i} ⟩ \otimes | y_{i} ⟩

$|\Psi_1\rangle = |x_{i_0}\rangle \otimes |y_{i_0}\rangle \qquad \text{and} \qquad |\Psi_2 \rangle = \sum_{i\neq i_0} \frac{\sqrt{p_i}}{1-p_{i_0}}|x_i\rangle \otimes |y_i\rangle$

En esos estados, los valores esperados de $\hat O_B$ son :

⟨ {\hat{O}}_{B} ⟩_{Ψ_{1}} = ⟨ y_{i_{0}} | {\hat{O}}_{B} | y_{i_{0}} ⟩ = 1 y ⟨ {\hat{O}}_{B} ⟩_{Ψ_{2}} = \sum_{i \neq i_{0}} \frac{{pag}_{i}}{1 - {pag}_{i_{0}}} ⟨ y_{i} | {\hat{O}}_{B} | y_{i} ⟩ = 0

$\langle \hat O_B \rangle_{\Psi_1} = \langle y_{i_0}|\hat O_B|y_{i_0}\rangle = 1 \qquad \text{and}\qquad \langle \hat O_B \rangle_{\Psi_2} = \sum_{i\neq i_0}\frac{p_i}{1-p_{i_0}} \langle y_i|\hat O_B|y_i\rangle = 0$

Esto es una contradicción. Por lo tanto debemos tener $i_0 = 0 \text{ or } 1$ : el estado es separable.

¡No sabía de la existencia de una descomposición de Schmidt! Esa parece ser la clave.

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creillyucla

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SolublePeces

creillyucla

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