Medición en estados mixtos

Tengo un conflicto entre mis notas de clase sobre mecánica cuántica, donde se afirma que la probabilidad de medir un valor propio a i en estado mixto con matriz de densidad ρ es

Tr ⁡ ( PAG i ρ PAG i )   ,
dónde PAG i es el proyector para el subespacio correspondiente a a i .

Sin embargo, todos los recursos por ahí indican que la probabilidad debe ser Tr ⁡ ( ρ PAG i ) , e incluso el profesor puso como ejemplo un examen resuelto donde se aplicaba la última fórmula en lugar de la primera.

¿Qué cálculo de la probabilidad es correcto? ¿Es posible que ambas huellas sean iguales debido a PAG i ser un operador de proyección?

Respuestas (2)

Como menciona el OP, ambas versiones son iguales. Para un observable A de la forma

A = ∑ k a k PAG k ,

con las proyecciones PAG k 2 = PAG k = PAG k † en el espacio propio correspondiente al valor propio a k , la probabilidad de medir a k en el estado ρ es dado por

pag ρ ( a k ) = T r ( PAG k ρ PAG k ) = T r ( PAG k ρ ) ,
donde hemos usado la propiedad cíclica de la traza. Una ventaja que puedo ver al escribir explícitamente ambos proyectores es el hecho de que después de la medición, el estado viene dado por

ρ ⟶ ρ ′ = PAG k ρ PAG k † T r ( PAG k ρ PAG k † ) ,
y por lo tanto es inmediatamente claro que ρ ′ está debidamente normalizado. Además, la forma de estas ecuaciones sugiere que esta noción de medida (medida proyectiva) es un caso especial de una noción más general de medida, cf. esto y esto _

Estas cosas se discuten en detalle en, por ejemplo, Nielsen y Chuang. Computación e Información Cuántica. Edición 10° Aniversario , apartado 2.2. y 2.4. Ver también esta publicación de PSE .

Muchas gracias por tu respuesta. Revisaré esos recursos adicionales para profundizar en el tema.
@Jaime_mc2 He agregado otra referencia a una publicación en este sitio, que podría ser de interés.

Esto último es correcto.

Por la propiedad cíclica de la traza.

T r ( ρ PAG i ) = T r ( PAG i Σ i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | )
= T r ( Σ i ⟨ ψ i | PAG i | ψ i ⟩ )

Esto es igual al valor esperado del operador ⟨ PAG i ⟩ (la probabilidad de medición).

El artículo de Wikipedia también tiene una buena explicación https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix#%3A%7E%3Atext%3DIn_quantum_mechanics%2C_a_density%2Cstate_of_a_physical_system.%26text%3DDensity_matrices_are_thus_crucial%2Cquantum_decoherence%2C_and_quantum_information.?wprov=sfla1

Gracias por tu rápida respuesta. Acabo de ver que la traza de un producto es conmutativa en el sentido de que T r ( A B ) = T r ( B A ) . ¿No podríamos usar eso para obtener T r ( PAG i ρ PAG i ) = T r ( ρ PAG i PAG i ) = T r ( ρ PAG i ) desde PAG i 2 = PAG i porque PAG i ser un proyector?
Lo bueno de rastrearnos es que puede mover el pedido para encontrar rápidamente los valores esperados. No estoy seguro acerca de ese operador en particular, pero si PAG i 2 = PAG i entonces sería lo mismo, sí.
Puedes usar \langle y \rangle para obtener ⟨ y ⟩ en lugar de \bra y \ket.
@Jaime_mc2 La traza no es conmutativa, es cíclica. Considere tr(A B C), difiere de tr(B A C).
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