El estado de mezcla máxima está en el centro de todos los estados cuánticos.

El conjunto de estados cuánticos ρ en d dimensiones es el conjunto de operadores semidefinidos positivos que viven en un espacio de dimensión de Hilbert d . Denotemos este conjunto por Pos. ( X ) y tenga en cuenta que este es un conjunto convexo. La convexidad también se ve en otros conjuntos interesantes, por ejemplo, el conjunto de estados separables S , el conjunto de estados PPT PAG etcétera.

Tengo la intuición de que, por algunos argumentos de simetría, el estado de mezcla máxima, es decir, el operador de identidad (que está en S , PAG y Pos. ( X ) ) debería estar en el centro geométrico de estos conjuntos, digamos si usamos cosas razonables como la norma 2 para definir la distancia. Después de todo, el estado de máxima mezcla es (en términos generales) una mezcla de todos los estados en el espacio de Hilbert.

Para un solo qubit, mirando la esfera de Bloch, ¡esto es realmente cierto! El estado de máxima mezcla está en el centro de la esfera.

Desafortunadamente, esta imagen parece ser engañosa en casos más generales. De acuerdo con esto, obtendrá una imagen geométrica muy agradable de variedades concéntricas para estados separables, estados PPT y todos los estados cuánticos y esto (por lo que puedo decir) no es el caso. Vea esta imagen donde el autor deliberadamente hace que los conjuntos no sean concéntricos, lo que está en desacuerdo con mi intuición.ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Alguien tiene una mejor intuición para la forma de conjuntos convexos de estados cuánticos? ¿Y habría una buena razón para ver por qué el estado de mezcla máxima no está en el centro del conjunto de estados?

¿Por qué no sería el caso? (¿Y asumes la traza 1?)
@NorbertSchuch, sí, asumo el rastro 1 para todos los estados de los que hablo. ¿Podría explicar por qué eso es importante? Solo pensé que esto era así debido a la falta de concentricidad de la imagen que adjunté. ¿Está diciendo que la imagen correcta es aquella en la que todos los conjuntos que se muestran tienen el mismo centro que corresponde al estado de mezcla máxima?
Si no es la traza 1, el estado de máxima mezcla (con la traza 1) ciertamente no está en el centro. El número 1 no es de ninguna manera especial. ¿Por qué no 17*el estado de máxima mezcla? Pero entiendo mejor tu pregunta ahora, la imagen ayudó. Básicamente, está preguntando "¿Cómo puedo conciliar el estado mixto máximo en el centro con esas imágenes no concéntricas?" -- ¿es esto correcto?
Sí, esa era la pregunta. ¡Gracias por la respuesta!

Respuestas (1)

Los operadores de densidad viven en un espacio vectorial real. Considere los operadores ρ , ρ ≥ 0 , t r ρ = 1 de cualquiera de los conjuntos S mencionas (todos los operadores de densidad, separables o PPT).

dado un estado ρ ∈ S , podemos escribirlo como

ρ = 1 d 1 1 + X   ,
con un operador hermitiano sin rastro X . Si ρ estaban en el centro del conjunto, entonces también el estado
ρ ′ = 1 d 1 1 − X
debe estar en el conjunto.

Ahora considere un estado de producto puro (bipartito) ρ = | 00 ⟩ ⟨ 00 | , que está contenido en los tres conjuntos (y, de hecho, en el límite de los tres conjuntos, como en la parte inferior de la imagen). En ese caso,

ρ ′ = 2 d 1 1 − | 00 ⟩ ⟨ 00 |   ,
que tiene un valor propio negativo 2 d − 1 (tenga en cuenta que d ≥ 4 -- e incluso si no miramos los sistemas bipartitos, d ≥ 3 , ya que ya observaste que todo funciona para la esfera de Bloch). Vemos por tanto que ρ ′ no está en ninguno de los conjuntos, es decir, ¡los conjuntos no son simétricos alrededor del centro!

Debería ser instructivo elaborar el criterio PPT, o separabilidad, para este o ejemplos relacionados a lo largo de esa línea.

El estado de mezcla máxima está en el centro de todos los estados cuánticos.
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