Correlaciones clásicas y cuánticas en sistema bipartito

Repasemos tu lista.

$\underline{\text{Classical correlations}}$son correlaciones que pueden ser creadas por LOCC (operaciones locales y comunicación clásica).

Si, eso es correcto.

1. ¿Los operadores locales que actúan en el espacio bipartito de Hilbert tienen la siguiente forma:$U_{A} \otimes I_{B} \text{ and } I_{A} \otimes U_{B}$?

Sí, eso es correcto, aunque esto no tiene en cuenta la comunicación clásica, por lo que el conjunto LOCC es más grande que eso. Una expresión completa es bastante torpe (ya que necesita dar cuenta de un número arbitrario de viajes de ida y vuelta para la comunicación clásica, con una medida proyectiva y unitaria local en cada extremo), pero hay buenos detalles en Wikipedia si los quiere .

Si es así, la localidad de estos operadores no tiene nada que ver con la localidad espacial. ¿Es eso correcto?

No necesita tener nada que ver con la localidad espacial. Normalmente se hace cumplir esto al estipular que los subsistemas A y B están en ubicaciones remotas y que sus mediciones ocurren lo suficientemente rápido como para estar dentro de regiones del espacio-tiempo separadas como el espacio. Si no hace cumplir eso, entonces la 'localidad' simplemente se convierte en un marcador de los diferentes factores de tensor del espacio de estado.

$\underline{\text{Quantum correlations}}$son correlaciones que no pueden crearse por la vía antes mencionada.

En términos generales, sí.

2. ¿Significaría eso que las correlaciones cuánticas serán creadas por operadores no locales (?) de forma:$U_{A} \otimes U_{B}$?

Sí.

¿Hay alguna otra forma de crear correlaciones cuánticas?

Depende de lo que cuentes como "maneras". Hay un montón de canales cuánticos que crean correlaciones cuánticas que no son de la forma$U_{A} \otimes U_{B}$; como ejemplo tomemos un canal unitario de la forma$U_{A} \otimes U_{B}$y seguirlo con cierta decoherencia limitada. ¿Eso cuenta?

En términos generales, si tiene un canal cuántico dado y sabe que crea correlaciones cuánticas, normalmente podrá descomponerlo de esa manera, pero esa descomposición no necesariamente habla de lo que "realmente está pasando" dentro del sistema (y normalmente no tendrá ningún acceso a eso).

Por lo tanto, diría que la respuesta a la pregunta es moralmente sí, pero que está demasiado mal definida para decir algo concreto.

¿Se pueden crear correlaciones clásicas mediante la acción de este operador en un estado dado como un subproducto (al menos en caso de estado mixto)?

Francamente, esto no está nada claro para mí.

He oído que el entrelazamiento no es la única forma de correlación cuántica.

Esto es correcto. Probablemente desee ver la discordia cuántica como el ejemplo central de tales correlaciones.

Sin embargo, dado que por el momento no estoy interesado en estados exóticos sino en conceptos generales, ignoraré este conocimiento. Si esta información no se puede descuidar, por favor hágamelo saber.

Eso depende de lo que quieras decir con "no se puede descuidar". Hay muchos escenarios conceptuales importantes en los que la información no se puede descuidar. Hay muchos escenarios conceptuales importantes en los que puede hacerlo. Algunos ejemplos de los primeros son lugares donde la contextualidad cuántica es una consideración importante, con el teorema de Kochen-Specker desempeñando un papel similar al del teorema de Bell en el estudio del entrelazamiento. Algunos ejemplos de esto último son el estudio del entrelazamiento. Qué lado quieres escuchar es una elección personal.

$\underline{\text{Pure states:}}$

3. Ningún estado puro (bipartito) tiene correlaciones clásicas entre sus subsistemas. Prueba : si partimos del estado del producto directo$|A\rangle\otimes |B\rangle$ningún operador local podrá crear correlaciones entre subsistemas. Dado que la comunicación clásica conducirá a la creación de un estado mixto, no tenemos opciones.

Si, eso es correcto. Puede que le interese la pureza como teoría cuántica de los recursos .

$\quad \cdot$La descomposición de Schmidt nos dice si el estado puro dado es entrelazado (tiene correlaciones cuánticas) o separable.

Eso es correcto.

$\underline{\text{Mixed states:}}$

4. Cada estado bipartito mixto tiene correlaciones clásicas entre sus subsistemas.

No, esto es incorrecto. Para obtener un contraejemplo, simplemente tome dos matrices de densidad mixta$\rho_A$y$\rho_B$, y establecer$\rho = \rho_A\otimes \rho_B$como un estado mixto separable sin correlaciones clásicas entre sus subsistemas.

Prueba : cualquier estado mixto se puede escribir como una mezcla de estados puros. Según tengo entendido, esto significa que cualquier matriz de densidad se puede diagonalizar. La matriz diagonalizada tendrá valores propios en su diagonal. Debido a las propiedades de la matriz de densidad, los valores propios$\lambda_{i} \in [0,1]$y su suma siempre es igual a 1. Por lo tanto, estos valores propios pueden interpretarse como probabilidades correspondientes a algunos estados puros en una mezcla.

Hasta aquí todo cierto, pero

La presencia de al menos dos valores propios distintos de cero indicaría la presencia de correlaciones clásicas entre subsistemas.

Esto no se sigue de nada. Estudie el contraejemplo anterior para ver por qué esto falla.

$\quad \cdot$La separabilidad nos dice si un estado mixto dado tiene entrelazamiento (es decir, correlaciones cuánticas) o no.

Los estados entrelazados son, por definición, aquellos estados que no son separables. Entonces sí. Pero te dice muy poco.

Para el sistema bipartito se puede utilizar el llamado criterio de Peres-Horodecki.

Ese es un criterio posible, pero no es infalible para detectar enredos. En otras palabras, obtienes la implicación

$$\rho\text{ is separable} \implies \text{its partial transpose is positive semidefinite}$$ y su contraposición $$\text{the partial transpose of }\rho\text{ is indefinite} \implies \rho\text{ is entangled},$$ pero no obtienes lo contrario, lo que sería más útil, es decir, es posible que $\rho$está enredado, pero acaba de elegir una base en la que la transposición parcial sigue siendo semidefinida positiva.