Prueba de que los valores propios de los operadores de creación/aniquilación fermiónicos son números de Grassman

Aunque estas ecuaciones son correctas, no es del todo correcto tratarlas como ecuaciones de valores propios.

En la teoría cuántica, tanto los operadores bosónicos como los fermiónicos actúan en un espacio de Hilbert, por lo que tienen elementos de matriz numéricos ordinarios y valores propios. Una de las posibles realizaciones del espacio de Hilbert en el caso de operadores bosónicos es como un espacio de funciones de Hilbert en alguna variedad. En este caso, los operadores de creación y aniquilación se pueden realizar mediante combinaciones de operadores de multiplicación y diferenciales:

$$\hat{a}_b = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} + i \hat{p}) =\frac{1}{\sqrt{2}}(x + \frac{d}{d x})$$

El análogo en el caso de los fermiones es construir el espacio de Hilbert como un espacio de funciones en una supervariedad en lugar de sobre una variedad. Esta tarea se logra mediante:

1) Encontrar una representación mediante operadores de multiplicación y diferenciación sobre esta variedad del álgebra fermiónica canónica:

$$\{ a_f, a^{\dagger}_f \} = 1$$

2) Entonces, la elección de una variedad unidimensional compleja impar es suficiente para tal representación:

$$a_f = \psi$$

$$a^{\dagger}_f = \frac{d}{d\psi}$$

Dónde$\psi$es una variable compleja de Grassmann.

Una función en esta variedad de la forma

$$f(\psi) = e^{\bar{\psi}\psi}$$

se llama estado coherente. Es correcto pensar en la exponencial como una serie de Taylor. La serie de Taylor se trunca después del primer término porque$\psi$es nilpotente porque es una coordenada de una supervariedad. Es fácil de ver usando las reglas del álgebra de Grassmann.

$$a_f f(\psi) = \psi f(\psi)$$ .

$$a^{\dagger}_f f(\psi) = \bar{\psi} f(\psi)$$

Estas son solo las ecuaciones dadas en la pregunta, pero deben interpretarse como la acción de los operadores canónicos en el estado coherente.

Cabe mencionar que este estado coherente de Hilbert es simplemente un espacio de Hilbert ordinario expresado por medio de funciones sobre una supervariedad y que tiene el producto interno:

$$(g, f) = \int \overline{g(\psi) } f(\psi) e^{-\bar{\psi} \psi} d\bar{\psi} d\psi$$

Este espacio de Hilbert es solo el espacio vectorial complejo bidimensional generado por los vectores$1, \psi$. (Las funciones no dependen de$\bar{\psi}$, de lo contrario, habría vectores nulos y el espacio no sería Hilbert).

Editar

@ usuario10001 como te diste cuenta$a^{\dagger}_f$tiene una acción bien definida sobre el espacio de Hilbert atravesado por$\{1, \psi \}$como el operador diferencial$\frac{d}{d\psi}$.

Para su segunda pregunta, utilicé una notación ligeramente abusiva para el estado coherente para obtener el mismo tipo de fórmulas que en la pregunta, en realidad uno debería escribirlo como:$e^{\zeta^{\dagger}\psi}$, dónde$\zeta$, es otro número de Grassmann no$\psi$complejo conjugado de . Tu puedes pensar en$\zeta$como coeficiente numérico de Grassmann. La única forma en que obtienes$\psi^{\dagger}$está en la conjugación compleja en la integral del producto interno.

Aún así, en la notación de la respuesta (abuso) todo está bien en la acción de$a^{\dagger}_f$en el estado coherente:

$$a^{\dagger}_f e^{\psi^{\dagger}\psi} = \frac{d}{d\psi}(1+\psi^{\dagger}\psi) =\psi^{\dagger}. 1$$

Esto significa que la respuesta es proporcional al vector$1$en el espacio de Hilbert con un coeficiente numérico de Grassmann$\psi^{\dagger}$.