Elementos de la matriz del hamiltoniano de partículas libres

Esta es una pregunta interesante. Recuerda la popular (pero falaz) "prueba" de que

$$\exp\{ia\hat p\}\psi(x) \equiv \exp\{a\partial_x\}\psi(x)=\psi(x+a)$$ que afirma que aplicando la exponencial del operador derivado a$\psi$da la expansión de Taylor de$\psi(x+a)$acerca de$x$. El problema es que si$\psi(x)$es$C^\infty$y de soporte compacto, entonces cada término de la serie de Taylor es siempre exactamente cero fuera del soporte de$\psi(x)$y entonces$\psi(x)$nunca puede volverse distinto de cero fuera de su región original de soporte. Por supuesto$C^\infty$funciones de soporte compacto no tienen series de Taylor que converjan a la función, y la resolución de esta paradoja es darse cuenta de que la definición apropiada de$\exp\{ia \hat p\}$proviene de su descomposición espectral. En otras palabras, deberíamos expandir Fourier$\psi(x)= \langle x|\psi\rangle$Llegar$\psi(p)\equiv \langle p|\psi\rangle$, multiplicar por$e^{iap}$y luego invertir la expansión de Fourier. Entonces obtenemos$\psi(x+a)$.

La misma situación se aplica aquí. La definición literal de$H$como operador de segunda derivada no es lo suficientemente preciso. Debemos elegir un dominio para$\hat H$tal que es verdaderamente autoadjunto y posee un conjunto completo de funciones propias. la acción de$\hat H$en cualquier función en su dominio se define entonces en términos de la expansión de la función propia.

El núcleo del problema es que, para operadores ilimitados$\hat A$, el operador exponencial no está definido en términos de la serie de potencias$\exp(\hat A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\hat A^n}{n!}$. Y no se puede definir de esa manera, ya que no tenemos garantía de que esta serie converja. En cambio, usamos el teorema espectral para definir

$$\exp(\hat A) = \int \mathrm e^a\, |a \rangle\!\langle a| \, \mathrm da \;, \tag{1}$$ donde$|a \rangle\!\langle a| \, \mathrm da$es la notación del físico para la medida con valor de proyección$\mathrm dP_a$. Fundamentalmente, esta es la definición utilizada en el teorema de Stone sobre grupos unitarios fuertemente continuos.

Esto significa en particular que la evolución temporal de$|\psi_2\rangle$no es $|\psi_2(\mathrm dt)\rangle = |\psi_2\rangle - \frac{\mathrm i\, \mathrm dt}{\hbar}\hat H |\psi_2\rangle + \mathcal O(\mathrm dt^2)$como se sugiere en la pregunta. Por lo tanto, no es una contradicción que

$$\langle \psi_1 | \hat H | \psi_2 \rangle = 0 \;.$$

Nota al margen: Como se explica en [Reed, Simon (1981), VIII.3], la definición (1) concuerda con la serie de potencias para el caso de límites$\hat A$. Además, para todos$|\psi\rangle$que se puede escribir como$|\psi\rangle = \int_{-M}^M |a \rangle\!\langle a|\varphi\rangle \, \mathrm da$para algunos$M \in \mathbb R$y algo$|\varphi\rangle$, la serie de potencias$\sum_{k=0}^\infty \frac{\hat A^n}{n!} |\psi\rangle$converge a$\exp(\hat A)|\psi\rangle$[Reed, Simon (1981), VIII.5].

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Como se menciona en la respuesta de Mike Stone, hay un ejemplo más simple que demuestra el mismo problema. Dejar$D(\alpha) = \exp(\mathrm i \alpha \hat p)$ser el operador de traducción ($\hbar=1$). Usando la definición (1), inmediatamente vemos que

$$\langle x | D(\alpha) | \psi \rangle = \int \mathrm e^{\mathrm i \alpha p} \langle x | p \rangle \langle p | \psi \rangle \,\mathrm dp = \langle x+\alpha | \psi \rangle \;.$$ Si$\psi$tiene soporte compacto, esto es obviamente diferente de $$\sum_{k=0}^\infty \frac{ \langle x | (\mathrm i \alpha \hat p)^n | \psi \rangle }{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ (\alpha \partial_x)^n }{n!} \langle x | \psi \rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\mathrm i\alpha)^n}{n!} \int p^n \langle x | p \rangle \langle p | \psi \rangle \,\mathrm dp \;.$$ Esta última expresión solo es correcta si podemos intercambiar el orden de la integral y la serie, como se explica también en [Holstein, Swift (1972)].