¿Puede cualquier "operador de evolución temporal" lineal pero no unitario normalizarse a uno unitario?

Question

¿Puede cualquier "operador de evolución temporal" lineal pero no unitario normalizarse a uno unitario?

Física
operadores
unitaridad
espacio de hilbert
evolución del tiempo
mecánica cuántica

parker

Un comentario a esta respuesta a otra pregunta dice

Me imagino que para cualquier operador de evolución temporal no unitario lineal, puedo encontrar uno unitario que produzca los mismos valores esperados para cada [estado físico], lo que hace que la evolución temporal no unitaria con normalización manual sea igual al tiempo unitario evolución con normalización estándar.

¿Es esto correcto?

Respuestas (2)

¿Puede cualquier "operador de evolución temporal" lineal pero no unitario normalizarse a uno unitario?

parker · Answer 1

No. Para cualquier estado inicial en particular $|\psi_0\rangle$ , podemos normalizar manualmente el hipotético operador de evolución temporal no unitario pero lineal $\hat{O}(t)$ de tal manera que el operador normalizado manualmente $\hat{O}_n(t) \equiv N_{\psi_0}(t)\, \hat{O}(t)$ produce una trayectoria evolucionada en el tiempo $|\psi(t)\rangle = \hat{O}_n(t) |\psi_0\rangle$ con norma constante. Pero el punto clave es que la función de normalización manual $N_{\psi_0}(t)$ necesariamente depende del estado inicial particular $|\psi_0\rangle$ ; no hay en general ninguna versión normalizada manualmente de $\hat{O}(t)$ que conserva la norma a lo largo de las trayectorias para todos los estados iniciales, como lo hace un operador unitario de evolución temporal. La unitaridad del operador de evolución en el tiempo es, por lo tanto, un requisito mucho más fuerte que la mera linealidad, y no se puede normalizar manualmente un operador de evolución en el tiempo lineal arbitrario a uno unitario. (Pero tenga en cuenta que la interpretación física de la unitaridad es algo oscura en el formalismo del espacio proyectivo, donde los estados físicos no tienen normas).

Como un ejemplo simple, considere el hipotético operador de evolución temporal lineal pero no unitario

\hat{O} (t) = (\begin{array}{cc} 1 & i ω t \\ 0 & 1 \end{array}) .

$\hat{O}(t) = \left( \begin{array}{cc} 1 & i \omega t \\ 0 & 1 \end{array}\right).$

Esta trayectoria del operador es un grupo de Lie de un parámetro, es decir, satisface la propiedad de composición $\hat{O}(t_2) \hat{O}(t_1) = \hat{O}(t_2 + t_1)$ . Conserva la norma del estado inicial. $(1, 0)$ , por lo que la función de normalización manual para ese estado inicial es la trivial $N(t) \equiv 1$ . Pero el operador escala la norma del estado inicial $(0, 1)$ con el tiempo como $\sqrt{1 + (\omega t)^2}$ , por lo que la función de normalización manual para ese estado inicial es $N(t) = 1/\sqrt{1 + (\omega t)^2}$ . no puedes normalizar $\hat{O}(t)$ preservar simultáneamente la norma de ambos estados iniciales. (Relativamente, el generador de este grupo de Lie

i \frac{d \hat{O}}{d t} |_{t = 0} = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array})

$i \frac{d\hat{O}}{dt}|_{t=0} = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ no es hermitiano.)

Noiralef · Answer 2

Noiralef

Dado un operador de evolución temporal lineal (pero posiblemente no unitario) $\hat O(t)$ , "normalización manual" significaría considerar la evolución temporal

| ψ (t) ⟩ = \frac{\sqrt{⟨ ψ_{0} | ψ_{0} ⟩}}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | \hat{O} (t)^{†} \hat{O} (t) | ψ_{0} ⟩}} \hat{O} (t) | ψ_{0} ⟩ .

$|\psi(t)\rangle = \frac{\sqrt{\langle \psi_0 | \psi_0 \rangle}}{\sqrt{\langle \psi_0 | \hat O(t)^\dagger \hat O(t) |\psi_0\rangle}} \, \hat O(t) |\psi_0\rangle .$ Está claro que este mapa

| ψ_{0} ⟩ \mapsto | ψ (t) ⟩

$|\psi_0\rangle \mapsto |\psi(t)\rangle$ es no lineal en general (excepto si

\hat{O} (t)^{†} \hat{O} (t)

$\hat O(t)^\dagger \hat O(t)$ es múltiplo de la identidad). En otras palabras, solo podemos "reparar" la normalización a costa de la linealidad.

parker

Gran respuesta, pero debería ser

| ψ (t) ⟩ = \sqrt{\frac{⟨ ψ_{0} | ψ_{0} ⟩}{⟨ ψ_{0} | \hat{O} (t)^{†} \hat{O} (t) | ψ_{0} ⟩}} \hat{O} (t) | ψ_{0} ⟩ .

$|\psi(t)\rangle = \sqrt{\frac{\langle \psi_0 | \psi_0 \rangle}{\langle \psi_0 | \hat O(t)^\dagger \hat O(t) |\psi_0\rangle}} \hat O(t) |\psi_0\rangle.$ La evolución del tiempo unitario significa norma constante, no norma unitaria (y olvidaste la raíz cuadrada).

Noiralef

@tparker Gracias, ¡olvidé la raíz cuadrada! Además, asumí que el estado inicial está normalizado para simplificar la expresión, pero debería haberlo mencionado.

parker

Respetuosamente, creo que la suposición de que

| ψ_{0} ⟩

$|\psi_0\rangle$ está normalizado arruina toda tu respuesta. Si solo das el mapa de evolución del tiempo para normalizado

| ψ_{0} ⟩

$|\psi_0\rangle$ , entonces no hay forma de evaluar si ese mapa es lineal o no, que es el punto central de su respuesta, porque una combinación lineal de kets normalizados no está normalizada en general. (De hecho, su fórmula superficialmente parece ser no lineal incluso si

O^{†} O = 1

$O^\dagger O = 1$ .) Creo que necesitas dar el mapa general para que tu respuesta realmente tenga sentido.

Noiralef

@tparker He agregado el mapa general, ya que definitivamente no está mal. Aunque quiero añadir un comentario más. Dejar

H_{\sim}

$H_\sim$ ser el espacio de estados físicos (es decir, normalizados). De hecho, tiene sentido discutir si un mapa

\hat{X} : H_{\sim} \to H

$\hat X: H_\sim \to H$ es lineal: requiere que

\hat{X} (α ϕ_{1} + β ϕ_{2}) = α \hat{X} (ϕ_{1}) + β \hat{X} (ϕ_{2})

$\hat X(\alpha \phi_1 + \beta \phi_2) = \alpha \hat X(\phi_1) + \beta \hat X(\phi_2)$ para

| α |^{2} + | β |^{2} = 1

$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ . La violación de esta condición es, en mi opinión, el punto crucial aquí. Si se cumple, el mapa se puede extender trivialmente a un mapa lineal

H \to H

$H \to H$ sumando el factor de normalización.

parker

Eso es cierto matemáticamente, pero exigir que cada estado pase por una etapa normalizada antes de que se puedan tomar combinaciones lineales es muy engorroso si estamos imaginando una teoría alternativa a la mecánica cuántica en la que la evolución del tiempo no es unitaria. Puede haber algunas ambigüedades en el orden de las operaciones acerca de si normalizas antes o después de tomar combinaciones lineales, no lo he pensado mucho. Simplemente me parece que si la evolución del tiempo no es unitaria, entonces debemos tener un poco más de cuidado al equiparar "físico" y "normalizado".

parker

Con la evolución temporal no unitaria, parece mucho más natural dejar el estado sin normalizar y cambiar el paso de normalización a la extracción de observables:

⟨ O ⟩ = \frac{⟨ ψ | O | ψ ⟩}{⟨ ψ | ψ ⟩}

$\langle O \rangle = \frac{\langle \psi | O | \psi\rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}$ . De todos modos, esa es la conceptualización más natural en QFT, y cuando se piensa en un estado como un elemento (único) de un espacio proyectivo de Hilbert en lugar de un elemento (no único) de un espacio de Hilbert.

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