¿Por qué las identidades de Ward solo deben usarse con la acción efectiva (a diferencia de la generación funcional para diagramas conectados)?

Mi pregunta es sobre la derivación de las identidades de Ward. Lo esbozaré aquí en el caso de un modelo simétrico O(N) y señalaré lo que me molesta cuando termine. Estoy siendo muy descuidado con la notación. Por favor, pregunte en los comentarios si no lo entiende. Supongo que conoces el funcional generador de funciones de correlación conectadas.$W[j] = \ln[Z[j]]$y su transformada de Legendre$\Gamma[\phi]$.

Considere una acción que depende de un$N$campo componente,$\phi_a$, y es invariante bajo rotaciones en este espacio,

$$\phi_a \rightarrow \phi_a = U(\theta_\alpha)_{ab} \phi_b' = \left[\text{e}^{i \theta_\alpha J^\alpha}\right]_{ab} \phi_b' \, .$$ $J^\alpha$son los generadores de las rotaciones y $\theta_\alpha$los "ángulos" correspondientes.

Las identidades de los barrios se derivan haciendo un cambio de variables en el funcional generador.

$$Z[j^a] = \int D\phi \, \text{e}^{S\left[ \phi_a \right]+\int j^a \phi_a} = \int D \phi' \, \text{e}^{i S[U(\theta)\phi']+\int j^a U(\theta)^{ab} \phi_b'} \, .$$ Después de cambiar el nombre $\phi'\rightarrow \phi$y explotando la simetría de la acción $S[U(\theta)\phi']=S[\phi']$nosotros escribimos $$Z[j^a] = \int D \phi \, \text{e}^{i S[\phi]+\int j^a U(\theta)^{ab} \phi_b} \, .$$ Finalmente expandimos a orden lineal en $\theta$, $$Z[j^a] = \int D \phi \, \text{e}^{i S[\phi]+\int j^a \phi_a} \left(1 + i \theta _\alpha \int j^a \left[J^{\alpha}\right]_{ab}\phi^b\right) \, .$$ Concluimos que $$\int j^a \left[J^{\alpha}\right]_{ab} \langle \phi^b \rangle = 0 \, . \tag{1}$$ $\langle \phi^b \rangle$es el valor esperado de $\phi^b$con la fuente $j$, $$\langle \phi^b \rangle = \frac{\delta Z}{\delta j^b} \, .$$

A continuación, esto se expresa en términos de la acción efectiva,$\Gamma[\phi] = -\log[Z[j]] + \int j^a \phi_a \, ,$

$$\int \frac{\delta \Gamma}{\delta \phi_a} \left[J^{\alpha}\right]_{ab} \phi^b = 0 \, . \tag{2}$$

Tomando una derivada de campo de la última ecuación y evaluación en soluciones físicas,$j=\delta\Gamma/\delta \phi = 0$lleva a

$$\int \frac{\delta^2 \Gamma}{\delta \phi_c \delta \phi_a} \left[J^{\alpha}\right]_{ab} \phi^b = 0 \, .$$ Cuando se toma la transformada de Fourier de esta ecuación, encontramos el teorema de Goldstones $$\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta \phi_c \delta \phi_a}(p=0) \left[J^{\alpha}\right]_{ab} \phi^b = 0\, .$$ Es decir, para cada generador de la simetría hay un modo con masa cero.

Mi pregunta es la siguiente: Según tengo entendido, la Ec. (1) es válido para cualquier elección de la fuente$j$. Sin embargo, si lo uso para restringir las funciones de correlación, obtengo (después de una derivada con respecto a$j^c$y evaluando en$j=0$,

$$\int \left[J^{\alpha}\right]_{cb} \langle \phi^b \rangle = 0 \, .\tag{3}$$ Encuentro que las funciones de correlación son simétricas, $\langle \phi^b \rangle = 0$. Esto simplemente me dice que no hay ruptura de simetría. ¿Qué salió mal aquí? ¿Por qué puedo usar la identidad del barrio en términos de $\Gamma$, ecuación (2) y no el que está escrito en términos de $Z$, ecuación (1)?