¿El teorema de Haags prohíbe la evolución temporal?

La respuesta es no, el teorema de Haag no impide la evolución temporal en la imagen de Heisenberg.

Dada cualquier representación y cualquier transformación unitaria, la aplicación de la última a la primera da una representación unitariamente equivalente. Y existen representaciones unitarias bien definidas, siempre que estemos usando una formulación bien definida para empezar. En particular, dada una formulación bien definida con un espacio de Hilbert, un álgebra de operadores locales y un hamiltoniano$H$, podemos usar el operador de evolución temporal unitario$U(t)=\exp(-iHt)$sin problemas El teorema de Haag dice que si comenzamos con la representación del vacío en un modelo escalar libre , entonces ninguna transformación unitaria puede dar la representación del vacío de un modelo escalar interactivo , al menos no cuando se trabaja en un volumen infinito, etc. algunas advertencias se destacan a continuación. Entonces, la imagen de interacción no funciona, al menos no en términos de operadores que actúan sobre vectores de estado, nuevamente con algunas advertencias resaltadas a continuación.

¿Qué dice el teorema de Haag?

Como referencia, así es como se expresa el teorema de Haag en la página 12 en "Teorema de Haag en teorías cuánticas de campo renormalizadas" ( https://arxiv.org/abs/1602.00662 ):

Teorema de Haag. Si un campo cuántico escalar es unitariamente equivalente a un campo cuántico escalar libre, entonces, en virtud del teorema de reconstrucción, también es un campo libre porque todos los valores esperados del vacío coinciden.

Así se expresa con más cuidado en la página 49 del mismo escrito:

Teorema 11.7 (Teorema de Haag). Dejar$\varphi$y$\varphi_0$ser dos campos escalares hermitianos de masa$m\geq 0$en el sentido del marco de Wightman. Supongamos que los límites de tiempo agudo$\varphi(t,f)$y$\varphi_0(t,f)$existen y que a la vez$t = 0$estos dos campos de tiempo agudo forman un conjunto irreducible en sus respectivos espacios de Hilbert${\cal H}$y${\cal H}_0$. Además, sea un isomorfismo$V:{\cal H}_0\rightarrow {\cal H}$tal que en el momento$t$,$\varphi(t,f)=V\varphi_0(t,f)V^{-1}$. Entonces$\varphi$es también un campo libre de masa$m\geq 0$.

(Yo asumo eso$\varphi_0$denota un campo libre.) Observe que estas declaraciones del teorema de Haag son específicas para campos escalares. Que yo sepa, el teorema nunca se ha generalizado a modelos que tienen campos de norma.

Ninguno de los extractos que se muestran arriba dice nada que entre en conflicto con la evolución del tiempo en la imagen de Heisenberg. Un campo escalar libre permanece libre (con la misma masa) bajo evolución temporal, y un campo escalar interactuante permanece interactuando (con la misma masa y constantes de acoplamiento) bajo evolución temporal. Entonces, el teorema de Haag no prohíbe la evolución temporal.

Sin embargo, de acuerdo con estos extractos, el teorema de Haag implica que un campo escalar no puede comenzar libre y luego interactuar (o viceversa), por lo que implica que la imagen de interacción no funciona, al menos, no funciona bajo el condiciones estrictas del teorema (que no copié aquí), incluida la estricta simetría de Poincaré.

El teorema 17.1 en el mismo documento destaca un resultado relacionado que el autor llama "teorema de Haag para campos libres". El teorema dice que dos modelos de campos escalares libres con diferentes masas no pueden ser unitariamente equivalentes entre sí.

Por cierto, el teorema de Haag puede considerarse irrelevante en la práctica, por dos razones:

• Las únicas construcciones matemáticamente bien definidas conocidas de la mayoría${}^{[1]}$Las QFT que interactúan implican tratar el espacio (o el espacio-tiempo) como una red finita, pero el teorema de Haag se basa en la simetría de Poincaré, o al menos en un límite de volumen infinito.

• Las construcciones basadas en celosías bien definidas no usan la imagen de interacción de todos modos.

Normalmente no usamos una formulación de celosía explícitamente (porque es desordenada), pero es importante en la visión moderna de la renormalización. Podemos pensar en los cálculos perturbativos mal definidos habituales como una abreviatura conveniente para cálculos desordenados pero bien definidos en una red finita. Con esta perspectiva, el teorema de Haag se vuelve esencialmente irrelevante. Se expresaron sentimientos similares en otra publicación sobre el teorema de Haag .

${}^{[1]}$En un comentario, Abdelmalek Abdesselam señaló que hay excepciones: "Hay modelos (en 2d y 3d) construidos en el continuo y que satisfacen la invariancia de Poincaré".