Prueba de cuantización de carga magnética de monopolos usando grupos de homotopía

Question

Prueba de cuantización de carga magnética de monopolos usando grupos de homotopía

Física
topología
teoría de calibre
dirac-monopolo
monopolos-magnéticos
física-matemática

Máquina

Supongamos que colocamos un monopolo en el origen $\{{\bf 0}\}$ , y el campo de calibre está bien definido en la región $\mathbb R^3-\{0\}$ que es homomórfico a una esfera $S^2$ .

Entonces la variedad total es $U(1)$ fibras unidas a la base $S^2$ . Podemos preguntar cuántos tipos de "textura de fase" hay en una esfera.

entonces uso $\pi_2 (U(1)) = \pi_2(S^1)$ desde que establecimos el mapa $S^2\mapsto U(1) \sim S^1$ .

Pero $\pi_2 (S^1) = 0$ no $\mathbb Z$ ! ¿Dónde me equivoqué? Según el famoso libro Topología y geometría para físicos , la fórmula correcta debería ser

π_{1} (S^{1}) = Z .

$\pi_1(S^1) = \mathbb Z.$ Por qué

π_{1}

$\pi_1$ en lugar de

π_{2}

$\pi_2$ ?

joshfísica

Querías decir

R^{3} - {0}

$\mathbb R^3-\{0\}$ es homeomorfo a

S^{2}

$S^2$ ? Y si es así, observe que el primer espacio no es compacto (en particular, no es un subconjunto acotado de

R^{3}

$\mathbb R^3$ ) mientras

S^{2}

$S^2$ es compacto, por lo que esta afirmación por sí sola no es cierta.

twistor59

Tal vez "equivalente homotópicamente a" sería más apropiado.

Respuestas (2)

Prueba de cuantización de carga magnética de monopolos usando grupos de homotopía

Querías decir $\mathbb R^3-\{0\}$ es homeomorfo a $S^2$ ? Y si es así, observe que el primer espacio no es compacto (en particular, no es un subconjunto acotado de $\mathbb R^3$ ) mientras $S^2$ es compacto, por lo que esta afirmación por sí sola no es cierta.
Tal vez "equivalente homotópicamente a" sería más apropiado.

twistor59 · Answer 1

Quiere especificar cuánto "giro" hay en un $U(1)$ (es decir, efectivamente $S^1$ ) agruparse $S^2$ . si cubres $S^2$ con un parche Norte y Sur, entonces la región de transición es topológicamente $S^1$ por lo que el paquete se clasifica por mapas $S^1$ a $U(1)$ , es decir, quieres $\pi_1(U(1))=\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

Veo. ¿Se aplica a todas las superficies 2D cerradas con curvatura distinta de cero? por ejemplo, un $T^2$ ? En este caso, la invariante TKNN también se lee $\pi_1 (U(1)) = \mathbb Z$
$T^2$ medio $S^1XS^1$ ? Si es así, entonces sí, creo que en este caso los paquetes circulares se clasifican por $H^2(M;\mathbb{Z})$ que es de nuevo los enteros - la clase de Euler.
Sin embargo, se sabe que los invariantes TKNN son los primeros números "Chern".

qmecanico · Answer 2

Con qué OP está clasificando $\pi_2 (G)$ [donde está el grupo de indicadores aquí $G=U(1)$ ], es el globalmente $^1$ transformaciones de calibre definidas $g: M\to G$ . Esto normalmente no es lo que queremos calcular.

Cuando se habla del monopolo de Dirac , los físicos están interesados en clasificar configuraciones no equivalentes de la variable dinámica de la teoría, es decir, el potencial de calibre $A$ . Más precisamente, en la imagen Wu-Yang/paquete (que evita el uso de una cadena de Dirac ), consideramos el paquete vectorial asociado

T^{*} METRO \otimes gramo \to METRO,

$T^{*}M\otimes \mathfrak{g}~\to~ M,$ dónde

g = u (1)

$\mathfrak{g}=\mathfrak{u}(1)$ es el álgebra de Lie correspondiente. Se entiende implícitamente que los potenciales de calibre

A_{α} : U_{α} \to g

$A_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathfrak{g}$ se definen en las cartas locales

U_{α} \subset M

$U_{\alpha}\subset M$ con

\cup_{α} U_{α} = M

$\cup_{\alpha}U_{\alpha}=M$ . Además, se entiende implícitamente que dos secciones locales

A_{α} : U_{α} \to g

$A_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathfrak{g}$ y

A_{β} : U_{β} \to g

$A_{\beta}: U_{\beta}\to \mathfrak{g}$ están conectados a través de transformaciones de calibre locales

g_{α β} : U_{α} \cap U_{β} \to G

$g_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta} \to G$ en las superposiciones

U_{α} \cap U_{β}

$U_{\alpha}\cap U_{\beta}$ .

Resulta que, por lo tanto, estamos interesados en contar mapas de la región de superposición ecuatorial. $S^1$ a $G$ , es decir $\pi_1 (G)$ , como explica twistor59 en su respuesta.

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$^1$ La variedad espacial subyacente para el monopolo de Dirac es $M=\mathbb{R}^3\backslash\{\bf 0\}$ , que es homotopía equivalente (pero no homeomorhic) a $S^2$ . Hemos quitado el origen, ya que el monopolo de Dirac es singular allí. [Los monopolos 't Hooft-Polyakov son regulares en todo el espacio $\mathbb{R}^3$ , pero no discutiremos estos monopolos en esta respuesta.]

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joshfísica

twistor59

Respuestas (2)

twistor59

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twistor59

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qmecanico

¿Cuál es el número de bobinado de un monopolo magnético y por qué se conserva?

¿Los grupos de mayor homotopía juegan algún papel en la teoría de calibre?

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