Potencial vectorial para campo magnético cuando el campo no está en una región simplemente conectada

Question

Potencial vectorial para campo magnético cuando el campo no está en una región simplemente conectada

Oro

Según el Lema de Poincaré, si $U\subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto en forma de estrella y si $\omega$ es un $k$ -forma definida en $U$ que está cerrado, entonces $\omega$ es exacta, lo que significa que hay algunos $(k-1)$ -formar, decir $\eta$ con $\omega = d\eta$ . Ahora, traduciendo a campos vectoriales, si consideramos $U$ un conjunto en forma de estrella en $\mathbb{R}^3$ y si $B$ es un campo vectorial dentro $U$ tal que $\nabla\cdot B= 0$ , entonces hay un campo vectorial $A$ definido en $U$ tal que $B = \nabla \times A$ .

Escuché que el lema de Poincaré resulta ser cierto incluso si $U$ no tiene forma de estrella, sino más bien, simplemente contráctil. Ahora bien, en la hipótesis del Lema de Poincaré, el hecho de que el campo magnético satisfaga $\nabla\cdot B = 0$ implica la existencia del vector potencial $A$ , con $B = \nabla \times A$ . Pero ahora, ¿qué sucede si el campo magnético se define en alguna región del espacio que no es simplemente conexa? En ese caso, el vector potencial no podría existir según el Lema de Poincaré (no dice que no exista, pero no garantiza la existencia).

Entonces, si la región donde se define el campo tiene agujeros, ¿qué sucede? ¿Es realmente una posibilidad de que el vector potencial no exista? En ese caso, ¿cuáles son las consecuencias físicas de eso? Como siempre me dijeron que el vector potencial era solo una herramienta matemática introducida para hacer la vida más fácil, creo que no tendría un impacto tan grande en el punto de vista de la explicación conceptual de la situación, sin embargo, no estoy seguro. .

Respuestas (2)

Potencial vectorial para campo magnético cuando el campo no está en una región simplemente conectada

joshfísica · Answer 1

Usted pregunta

si la región donde se define el campo tiene agujeros, ¿qué sucede?

Bueno, en ese caso puedes definir el vector potencial en subregiones simplemente conectadas $R_i$ cuya intersección es toda la región no simplemente conexa $R$ y tales que difieren solo por una transformación de calibre en las regiones de superposición. Esta es una actividad bien motivada desde el punto de vista físico, porque significa que, para medir la transformación, el vector potencial se puede definir en $R$ .

Aquí hay un ejemplo simple. Dejar $\ell=\{(x,y,z)\,|\, x=0, y=0\}$ denota el $z$ -eje, entonces la región $R=\mathbb R^2\setminus\ell$ no está simplemente conectado. Para ver esto, simplemente considere un lazo cerrado que encierra el eje; no hay forma de reducirlo continuamente hasta un punto mientras permanece en $R$ . Debido a esto, no hay $\mathbf A$ definido en todos $R$ . Sin embargo, deja $\ell_+$ denota lo positivo $z$ -eje, y dejar $\ell_-$ denota el negativo $z$ -eje, luego las regiones $R_- = \mathbb R^3\setminus \ell_+$ y $R_+ = \mathbb R^3\setminus \ell_-$ tienen la propiedad de que cada uno de ellos es simplemente conexo y $R = R_+\cap R_-$ . Además, podemos definir un potencial vectorial $\mathbf A_+$ en $R_+$ y $\mathbf A_-$ en $R_-$ tal que existe una función escalar $\Lambda$ para cual

\begin{aligned} A_{+} (X) - A_{-} (X) = \nabla Λ (X), para todos X \in R \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A_+(\mathbf x) - \mathbf A_-(\mathbf x) = \nabla\Lambda(\mathbf x), \qquad \text{for all $\mathbf x\in R$} \end{align}$ De hecho, aquí están las expresiones explícitas en coordenadas esféricas

(r, θ, ϕ)

$(r,\theta,\phi)$ :

\begin{aligned} A_{\pm} & = - gramo \frac{porque θ \mp 1}{r pecado θ} \hat{ϕ} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A_{\pm} &= -g\frac{\cos\theta\mp 1}{r\sin\theta}\hat{\boldsymbol \phi} \end{align}$ te dejo a ti determinar

Λ

$\Lambda$ ; es un ejercicio divertido.

¿Cuáles son las consecuencias físicas de eso?

Bueno, en el contexto de la mecánica cuántica, este tipo de cuestiones topológicas son físicamente relevantes (no estoy seguro de si hay ejemplos en los que sean relevantes en el nivel clásico, pero no lo creo). No entraré en detalles aquí (a menos que quizás haya alguna demanda), pero los mismos potenciales vectoriales que anoté en el ejemplo anterior surgen cuando se analizan los monopolos magnéticos y la cuantización de la carga eléctrica (ver Cuantización de Dirac ).

Estos problemas topológicos también se vuelven significativos al discutir el famoso efecto Aharonov-Bohm .

He visto que la topología es bastante importante en QM. ¿Hay algún ejemplo relevante en CM?
@jinawee Realmente no soy la persona adecuada para preguntar sobre eso porque mi conocimiento de la materia condensada es muy limitado, pero esto podría interesarle en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator
¿Existe realmente una prueba para su primera afirmación? ¿Y realmente quieres decir unión en lugar de intersección?

Bob Terrell · Answer 2

El campo del cuadrado inverso $-{\bf x}/r^3$ tiene divergencia 0 en el conexo simple $R^3$ menos el origen, pero no tiene un vector potencial en esa región. Si lo hiciera, entonces su integral sobre una esfera centrada en el origen sería 0 por el teorema de Stokes, lo cual no es el caso. Así que ``simplemente conectado'' no es exactamente lo correcto. Desea que el dominio esté conectado a 2. Eso es suficiente.

Curiosamente tiene un potencial vectorial en una región que ni siquiera es simplemente conexa: $(-yz,xz,0)/((x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ funciona fuera de la $z$ eje.

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Oro

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joshfísica

Jinawee

joshfísica

lalala

Bob Terrell

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