Primer número de Chern, monopolos y estados cuánticos de Hall

El primer número de Chern C se sabe que está relacionado con varios objetos físicos.

  1. Los campos de calibre se conocen como conexiones de algunos paquetes principales. En particular, el principio tu ( 1 ) Se dice que el paquete se clasifica por el primer número de Chern. En términos de campo electromagnético, C ≠ 0 es equivalente a la existencia de monopolos.

  2. En el caso de los estados de Hall cuánticos enteros, el número de Chern es simplemente la conductancia de Hall hasta una constante.

En ambos problemas físicos, el número de Chern está relacionado con la vorticidad, un valor cuantificado (primer caso, argumento de cuerda de Dirac y segundo, vórtices en la zona magnética de Brillouin).

Entonces mi pregunta:

  1. ¿Cuál era la imagen "física" en la mente de Chern cuando originalmente "ideó" la teoría? (Tal vez nudos, pero ¿cómo?)

Notas:

Mi punto es que los teoremas matemáticos no son dados por Dios sino que surgieron de problemas concretos. Estaba preguntando cuál fue el problema original que resolvió Chern, a partir del cual codificó los teoremas generales. Y el número de Chern parece estar relacionado con la vorticidad y, entonces, ¿cuáles son los vórtices correspondientes en su problema?

Pensé que Chern era un matemático puro que trabajaba en el problema de clasificar paquetes. Las aplicaciones a los problemas físicos no las hizo él (pero puedo estar equivocado). Para comprender las clases de Chern, debe investigar las clases características que pertenecen a los campos de topología algebraica/geometría diferencial. Para este tema siempre recomiendo esta referencia .
Gracias por el comentario. Mi punto es que los teoremas matemáticos no son dados por Dios sino que surgieron de problemas concretos. Estaba preguntando cuál fue el problema original que resolvió Chern, a partir del cual codificó los teoremas generales. Y el número de Chern parece estar relacionado con la vorticidad y, entonces, ¿cuáles son los vórtices correspondientes en su problema?
El problema original que resolvió SS Chern fue dar expresiones concretas de las clases características de paquetes de vectores complejos. Las clases son topológicas y miden cuán no trivial es el paquete. Tome el paquete de línea real sobre un círculo como ejemplo, el paquete trivial es un cilindro. El primer paquete no trivial es una tira de Möbius. La clase de Euler mide cuántas veces gira alejándose del cilindro trivial. Este número debe tener un valor entero. La clase Chern es similar pero para paquetes complejos.

Respuestas (2)

La referencia original está aquí (¡1945!). Tenga en cuenta que antes de las clases de Chern vinieron las clases de Stiefel-Whitney, que dan Z 2 invariantes de las variedades reales. Chern quería invariantes de variedades complejas, por lo que definió sus famosas clases.

En general, uno puede pensar en las clases características y su culminación, la teoría del índice, como una gran serie de generalizaciones del teorema de Gauss-Bonnet, que brinda una forma de integrar una cantidad definida localmente (la curvatura gaussiana) en una global. invariante topológico (y cuantificado) (la característica de Euler).

Tal vez puedas decir que todo se debe a que Gauss solo quería una mejor forma de comer pizza .

"En el efecto Hall cuántico (QAHE), Klitzing descubrió que la conductividad de Hall son múltiplos enteros de una constante fundamental. Este efecto es independiente del tamaño y las impurezas del sistema con el que tratamos. Basado en él, un famoso científico R. Laughlin propuso una teoría que describe los estados enteros en términos de una invariante topológica. Esta invariante topológica se conoce como número de Chern.

Para obtener detalles sobre el número cern, hay un enlace de wikipedia".

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