¿Qué queremos decir cuando decimos que la función de onda QM es una sección del paquete U(1)U(1)U(1)?

Este$U(1)$es solo la simetría de calibre del electromagnetismo. Para una función de onda de una partícula cargada, la$U(1)$simplemente actúa cambiando la fase de la función de onda. La "sección" significa que realmente queremos que se determine la fase en cada punto. Pero debido a que existe la$U(1)$simetría, la fase es en gran parte arbitraria. Sin embargo, un cambio arbitrario de fase dependiente de la posición no crea realmente un estado físico equivalente porque las variaciones se recuerdan en los cambios del campo de calibre; en terminología matemática, la información se almacena en la "conexión en el haz de fibras". .

En presencia de monopolos magnéticos, el vector potencial$\vec A$no se puede definir globalmente porque$\vec B={\rm curl}\,\vec A$obedece automáticamente${\rm div}\,\vec B=0$pero esta ecuación se viola en presencia de cargas monopolares magnéticas porque${\rm div}\,\vec B=q_m\delta^{(3)}(\vec x)$. Sin embargo, todavía es posible definir$\vec A$casi en todas partes alrededor de un monopolo magnético similar a un punto, excepto por una cuerda (línea) semi-infinita que comienza en el origen (la ubicación del monopolo), la llamada cuerda de Dirac.

Esto equivale a reemplazar el monopolo por un dipolo magnético largo que conecta el monopolo original con el polo opuesto que se envía al infinito. Debido a que el polo opuesto está en el infinito, se vuelve inmaterial. Sin embargo, el solenoide largo (imán) que conecta los dos polos también debe ser invisible. Una condición necesaria para eso es que el efecto Aharonov-Bohm alrededor de este solenoide no produzca un cambio de fase detectable, y esto es equivalente a la regla de cuantificación de Dirac para la carga magnética, esencialmente$q_m q_e\in 2\pi{\mathbb Z}$.

En terminología matemática, la posible transformación de la fase de la función de onda inducida por el viaje alrededor de la cuerda de Dirac es la razón por la que necesitamos hablar de "paquetes": es imposible establecer$\vec A$igual a cero en todas partes, por lo que aunque no haya una fuente magnética en ninguna parte del espacio (excepto en el origen), aún no podemos asignar una fase natural única a la función de onda en la mayor parte del espacio.

En unidades de la carga del monopolo magnético elemental,$q_m$– el número de monopolo – puede expresarse como el coeficiente de$\delta^{(3)}(\vec X)$en${\rm div}\,\vec B$, o, lo que es lo mismo por el teorema de Gauss, como la integral de superficie$\int d\vec S\cdot \vec B$con el coeficiente dependiente de la convención correcto. Además, debido a que toda la "no trivialidad" del paquete puede concentrarse en la cuerda de Dirac, el único lugar donde$\vec A$no está bien definido, el flujo magnético puede reducirse a la integral sobre una pequeña sección transversal que corta la cuerda de Dirac, y por lo tanto$q_m$se expresa a partir de monodromías alrededor de la cuerda de Dirac que indica cuánto se retuerce el haz de fibras.

Todas estas cosas son iguales. Para ver por qué son iguales, es útil darse cuenta de que los físicos intentan "trivializar" el haz de fibras y casi lo logran, a excepción de la cuerda de Dirac donde$\vec A$no está bien definido. Sin embargo,$\vec B$se define en todas partes excepto en el origen. Entonces, cualquier cosa sobre la no trivialidad del paquete debe codificarse en los funcionales invariantes de calibre de$\vec A$, es decir, en integrales de contorno$\oint d\vec \ell\cdot \vec A$e integrales de superficie de$\vec B$. Por los teoremas triviales habituales de Gauss, dan el mismo número para la configuración del monopolo magnético.

En cuanto a la lista corta actualizada de preguntas,

1. la función de onda es una sección de un paquete complejo con grupo de estructura$U(1)$cual es el grupo calibre
2. las transformaciones de calibre especifican las funciones de transición entre parches; los parches deberían ser difeomorfos a las bolas pero, en realidad, podemos hacer que el parche principal sea tan grande como todo el espacio menos la cuerda de Dirac
3. los matemáticos siempre llaman al potencial electromagnético la conexión en el paquete (simetría de calibre); la incapacidad de definir$\vec A$globalmente es por qué el paquete no es trivial
4. el valor de la conexión$\vec A$puede ser cualquier cosa que obedezca las ecuaciones de Maxwell. En 3+1D, los monopolos magnéticos son las únicas fuentes localizadas que pueden hacer que el paquete no sea trivial, por lo que cada potencial general es una superposición de los bien definidos.$\vec A$y el$\vec A$de una distribución de monopolos magnéticos.

Véase también, por ejemplo

¿Se pueden introducir monopolos magnéticos sin cuerdas de Dirac?