Propiedades hermitianas del operador de Dirac

Estoy tratando de comprender la hermiticidad del operador de Dirac (sin masa) tanto en el espacio (plano) de Minkowski como en el espacio euclidiano.

Definamos el operador de Dirac como D / = γ m D m , dónde D m = ∂ m − i gramo A m , donde en general A m es un campo de calibre no abeliano. Para completar, ellos asumen que los campos de norma son miembros de SU(2), y estamos trabajando en la representación de Weyl para γ 's).

He leído en varias fuentes sobre Lattice QCD que en el espacio euclidiano D / † = − D / , sin embargo deseo mostrar esto.

Generalmente D / = γ 0 ( ∂ 0 − i gramo A 0 ) + γ i ( ∂ i − i gramo A i ) .

Luego notando que A m † = A m , γ m † = γ m :

D / † = ( ∂ 0 † + i gramo A 0 ) γ 0 + ( ∂ i † + i gramo A i ) γ i . Obviamente para que esto sea cierto, ∂ m † = − ∂ m , ¿pero por qué? Mi entendimiento fue que ∂ m realmente representa I 2 X 2 ∂ m para SU(2).

Luego, estoy más interesado en comprender si en el espacio de Minkowski el operador de Dirac es hermitiano, antihermitiano o ninguno de los anteriores.

Similar a lo anterior, trabajando en la métrica (+,-,-,-), observando en este caso γ 0 † = γ 0 y γ i † = − γ i ,

D / = γ 0 ( ∂ 0 − i gramo A 0 ) − γ i ( ∂ i − i gramo A i ) ,

entonces

D / † = ( ∂ 0 † + i gramo A 0 ) γ 0 − ( ∂ i † + i gramo A i ) ( − γ i ) = ( − ∂ 0 + i gramo A 0 ) γ 0 − ( − ∂ i + i gramo A i ) ( − γ i ) = − ( ( ∂ 0 − i gramo A 0 ) γ 0 + ( ∂ i − i gramo A i ) γ i ) ≠ − D /     o     D /

Editar Después de un comentario útil, veo que ∂ m † = − ∂ m , sin embargo, creo que cometí un error en mi derivación original del espacio de Minkowski, y no creo que sea no hermitiano en general. ¿Alguien puede aclarar esto?

Respuestas (1)

Pista: si, ∂ † = − ∂ . Una forma de ver esto es que pag ^ = − i ∂ , y pag ^ es autoadjunto, lo que significa que ( − i ∂ ) = ( − i ∂ ) † = + i ∂ † . O dicho de otra manera, revisa la definición de † :

⟨ F , ∂ gramo ⟩ = ∫ F ∂ gramo = − ∫ ∂ F   gramo = − ⟨ ∂ F , gramo ⟩
donde utilicé la integración por partes. Solemos decir que i ∂ es hermitiano en lugar de decir que ∂ es anti-hermitiano, pero estos son obviamente equivalentes. Sin embargo, escucharás el primero con más frecuencia.

Con esto, creo que puedes probar fácilmente que i D /   es hermético. Para eso, deberá usar el hecho de que las matrices gamma son autoadjuntas (lo que significa γ ¯ m = γ m , no γ m † = γ m , lo cual es falso). Si necesita más detalles, dígalo y lo elaboraré.

EDITAR

Como i D = i ∂ + gramo A es la suma de dos términos, basta probar las propiedades de hermicidad de ambos independientemente. Creo que sabes cómo lidiar con el segundo término:

gramo γ m A m
es autoadjunto porque γ ¯ m = γ m .

Puedes probar que i ∂̸ es hermitiano al probar que también lo es i ψ ¯ ∂̸ ψ . Esto es más fácil porque

( i ψ ¯ ∂̸ ψ ) † = i ψ ¯ ∂̸ ψ ¯ = − i ψ ¯ ∂̸ ¯ ψ
así que tienes que probar ∂̸ ¯ = − ∂̸ en lugar de ∂̸ † = − ∂̸ . Ahora,
∂̸ ¯ = γ m ∂ m ¯ = γ ¯ m ∂ m † = − γ m ∂ m = − ∂̸
donde usé γ ¯ = γ y ∂ † = − ∂ .

Espero que sea más claro ahora. Debería poder completar los detalles.

Gracias por su respuesta, esto tiene sentido para las partes espaciales. Para el espacio-tiempo euclidiano esto tiene sentido que ∂ m † = − ∂ m porque el componente temporal se pone en pie de igualdad con el espacial. Sin embargo, para el espacio-tiempo de Minkowski, ¿sigue siendo cierto que ∂ m † = − ∂ m ? Parecería ser el caso, ya que el hamiltoniano es el generador de la traducción del tiempo, y esto (si no recuerdo mal) es al menos autoadjunto para la ecuación de Schrödinger. Estoy principalmente interesado en teorías de campo más generales, como la teoría de Yang-Mills y QCD.
Veo esto bien ahora, sin embargo, creo que tuve un error en mi álgebra anteriormente, y no parece que el operador de Dirac espacial de Minkowski no sea hermitiano. ¿Podría comentar sobre esto? Tal vez tengo un malentendido en alguna parte.
@Accidental, ¿a qué te refieres con γ ¯ m ? ¿Significa esto simplemente conjugar en complejo todos los elementos de la matriz? ¿O quieres decir γ ¯ m := ( γ m ) † γ 0 en cuanto al campo de Dirac?
@Kamil Lo siento, debería haberlo definido en la publicación. γ ¯ m := γ 0 γ m † γ 0 .
Propiedades hermitianas del operador de Dirac
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v