Condición de renormalización para fermiones

$\cancel{p} = p^\mu\gamma_\mu = m$parece ser un error tipográfico. Debería ser$p^2 = p^\mu p_\mu = m^2$en cambio.

El propagador de fermiones es

$$G = \frac{i}{\cancel{p}-m_0 - \Sigma(\cancel{p})+i\epsilon} = \frac{1}{1-b(p^2)}\frac{i}{\cancel{p}-\frac{m_0 + a(p^2)}{1-b(p^2)} + i\epsilon},$$ dónde $$\Sigma(p) = a(p^2) + b(p^2)\cancel{p}.$$ El propagador tiene un polo en $$m_p = \frac{m_0 + a(m_p^2)}{1-b(m_p^2)},$$ dónde $m_0$es masa desnuda (infinita) y $m_p$es la masa física (finita).

Uno puede reorganizar el propagador de fermiones anterior mediante la introducción de energía propia modificada$\hat{\Sigma}(\cancel{p})$(alternativamente y a menudo ofuscando a los neófitos, mediante la introducción de contratérminos como la ruta preferida en la mayoría de los libros de texto) para que

$$G = \frac{iZ}{\cancel{p}-m_p - \hat{\Sigma}(\cancel{p})+i\epsilon},$$ dónde $$Z = \frac{1}{1-b(m_p^2)},$$ y $$Z^{-1}\hat{\Sigma}(\cancel{p}) = [a(p^2)-a(m_p^2)] + [b(p^2)-b(m_p^2)]\cancel{p}.$$ Tenga en cuenta que la diferencia $a(p^2)-a(m_p^2)$es finito, aunque $a(p^2)$y $a(m_p^2)$son individualmente infinitos. ¡Los esquemas de regularización explícitos (como la regularización dimensional ampliamente utilizada) no son necesarios en absoluto! si seguimos el régimen de ceñirnos a las diferencias finitas (es decir, $a(p^2)-a(m_p^2)$) y cantidades mensurables (es decir, $m_p$).

Las condiciones de renormalización en el caparazón de masa son solo identidades triviales que se derivan de la definición anterior de energía propia modificada$\hat{\Sigma}(\cancel{p})$,

$$\hat{\Sigma}(\cancel{p})|_{p^2 = m_p^2} = 0,$$ $$\hat{\Sigma}'(\cancel{p})|_{p^2 = m_p^2} = 0.$$

Por supuesto, podemos rehacer el impuesto especial anterior a una escala de masa diferente$\mu$(la escala de renormalización) que no sea$m_p$. Pero no cambiará la imagen física. La técnica del grupo de renormalización (al deslizar la escala de renormalización$\mu$) también es prescindible (al menos en el contexto de la física de altas energías), ya que simplemente retomando la serie geométrica puede lograr lo mismo.