Adjunto hermitiano de 4 gradientes en la ecuación de Dirac

Ampliando mi comentario.

La idea básica es que lo que quiere decir con adjunto depende del espacio vectorial que se considere. Por ejemplo, podríamos tener$\mathbb{C}^n$como nuestro espacio, con el habitual producto interior; en ese caso, el adjunto de un vector o matriz es el conjugado transpuesto. Tenga en cuenta que, técnicamente, tomar adjunto de un vector no devuelve un vector, porque los vectores de fila y los vectores de columna pertenecen a diferentes espacios.

También podríamos usar$L^2(\mathbb{R}^n)$como nuestro espacio vectorial. Sus elementos son funciones, y el producto interior está definido por

También puede tomar adjuntos aquí, utilizando el producto interno definido anteriormente. Se puede demostrar que el operador derivada, que es una transformación lineal en$L^2$, es anti-hermitiano.

Ahora a la ecuación de Dirac. El espacio vectorial (es decir, el espacio de espinor) que se considera aquí es$\mathbb{C}^4$, no$L^2$. Eso es,$\psi$es un vector porque tiene cuatro componentes, no porque sea una función. El hecho de que sus componentes sean funciones es irrelevante aquí. Cuando tomamos adjuntos, transponemos y conjugamos vectores y matrices. La derivada es un operador si piensas en lo que le hace a las funciones, pero no es un$4\times4$matriz; no hace nada a los espinores. Por lo tanto, el adjunto particular que estamos haciendo aquí no lo afecta.

Mi respuesta es bastante similar a lo que otros han escrito aquí, pero tal vez de una manera ligeramente diferente.

Así que primero motivemos las definiciones de: -

Conjugado hermitiano de un operador - VS - Conjugado hermitiano de un vector

Conjugado hermitiano (adjunto) de "Operador": -

Un conjugado hermitiano (técnicamente conocido como adjunto ) de un operador$\hat{\mathrm A}$se define mediante la regla

$\langle\phi|\hat{\mathrm A}|\psi\rangle\ =\langle\hat{\mathrm A}^\dagger\phi|\psi\rangle$, dónde$\ \hat{\mathrm A}^\dagger$denota el adjunto del operador$\mathrm{\hat{A}}$.

CONCLUSIÓN 1:- Para encontrar el Adjunto de un "Operador", se necesita considerar el valor esperado del operador, es decir, evaluar una Integral sobre todas las Coordenadas de Espacio-Tiempo.

$\langle\phi|\hat{\mathrm A}|\psi\rangle\ =\displaystyle \int_{Entire\\ Domain} \phi^*(t,\mathbf{r})\ \hat{\mathrm A}\ \psi(t,\mathbf{r})\ dt\ d^3\mathbf{r}\ $

NOTA AL MARGEN:- Para operadores que se pueden escribir como matrices de dimensión finita como

$$\begin{bmatrix} f(x) & g(x) \\ h(x) & k(x) \end{bmatrix}$$ dónde$x \in (-\infty,\infty)$, podemos encontrar el adjunto como $$\langle\phi|\hat{\mathrm A}|\psi\rangle = \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \begin{bmatrix} a^*(x) & b^*(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(x) & g(x) \\ h(x) & k(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c(x) \\ d(x)\end{bmatrix}\ dx$$ $$= \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \left(\begin{bmatrix} f^*(x) & h^*(x) \\ g^*(x) & k^*(x) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a(x) \\ b(x) \end{bmatrix}\right)^\dagger \begin{bmatrix} c(x) \\ d(x)\end{bmatrix}\ dx = \langle{\hat{\mathrm A}^\dagger}\phi|\psi\rangle$$ Insinuando$\hat{\mathrm A}^\dagger = \begin{bmatrix} f^*(x) & h^*(x) \\ g^*(x) & k^*(x) \end{bmatrix}$.

Por lo tanto, uno puede encontrar fácilmente el Adjunto simplemente tomando el Tranpuesto Conjugado Complejo del Operador representado como una matriz. Sin embargo, esta técnica NO se aplica a los operadores que NO PUEDEN representarse como matrices de dimensión finita. Tenlo en cuenta porque es importante.

Conjugado hermitiano de un vector: -

Si$\ |\psi\rangle$es un vector de estado, entonces el conjugado hermitiano se define como$\ |\psi\rangle^\dagger\ =\langle\psi|$.

Un vector de dimensión finita nos ayuda a visualizar esto mejor.

Toma por ejemplo,$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

Entonces,$\langle\psi| = \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix}$

CONCLUSIÓN 2: - Para encontrar el Conjugado Hermitiano de un "Vector", uno necesita considerar solo la transpuesta conjugada compleja del vector, y NO cualquier Integral sobre Coordenadas de Espacio-Tiempo.

Ahora, examinemos una diferencia entre los dos conjugados hermitianos: -

Las declaraciones escritas en la Conclusión 1 y 2 son muy importantes. ¿Por qué?

Considere los vectores

$|\chi_1\rangle = \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}$;$\quad$ $|\chi_2\rangle = \begin{pmatrix} x^2e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+4} \end{pmatrix}$

Tarea 1:- Encontrar el "Vector Conjugado Hermitiano" de$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle$, dónde$x \in (-\infty,\infty)$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xe^{-\frac{x^2}{2}} \\ -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\end{pmatrix}$

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\right)^\dagger = \begin{pmatrix} xe^{-\frac{x^2}{2}} & -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) & \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{pmatrix} = \frac{\mathrm d}{\mathrm{dx}} \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}^\dagger = \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}} \left(|\chi_1\rangle^\dagger\right)$

$\boxed{\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\right)^\dagger = \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}} \left(|\chi_1\rangle^\dagger\right)}$

CONCLUSIÓN 3:- El Conjugado Hermitiano ($\dagger$) no hizo nada para$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$simplemente porque NO estamos calculando ninguna integral sobre las coordenadas espaciales (y/o temporales) .$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle$simplemente produce otro "Vector" cuya transposición conjugada compleja se calcula aquí. Eso es todo. Nada mas.

Tarea 2:- Para encontrar el "Operador Conjugado Hermitiano" de$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$, dónde$x \in (-\infty,\infty)$

$\langle\chi_2|\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\ =\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \begin{pmatrix} x^2e^{-\frac{x^2}{2}} & \frac{1}{x^2+4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{pmatrix}\ dx$

$= \displaystyle \int_{-\infty}^\infty x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\ dx + \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+4}\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\ dx$

La integración por partes daría: -

$\left[\left(x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\right]_{-\infty}^\infty - \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\right)e^{-\frac{x^2}{2}}\ dx + \left[\left(\frac{1}{x^2+4}\right)\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+4}\right)\frac{1}{x^2+1}\ dx$

Seguramente, los términos de la frontera son 0. Esto produce

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \begin{pmatrix} -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\right) & -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\left(\frac{1}{x^2+4}\right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}\ dx\ = \int_{-\infty}^\infty \left[-\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\begin{pmatrix} x^2e^{-\frac{x^2}{2}} & \frac{1}{x^2+4} \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \frac{1}{x^2+1} \end{pmatrix}\ dx$

De este modo,$\langle\chi_2|\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}|\chi_1\rangle\ = \langle -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\chi_2|\chi_1\rangle$, dando

$\boxed{\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}\right)^\dagger = -\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}}$

CONCLUSIÓN 4:- El Conjugado Hermitiano ($\dagger$) actúa sobre$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$esta vez, simplemente porque estamos calculando cualquier Integral sobre las coordenadas espaciales (y/o temporales) .

CONCLUSIÓN FINAL: - Fue solo la confusión de notación lo que condujo al problema. Al encontrar el conjugado hermitiano de un operador, tiene un procedimiento de evaluación completamente diferente al de encontrar el conjugado hermitiano de un vector. Desafortunadamente, la misma notación ($\dagger$) se usa para ambos, que es donde potencialmente radica la confusión.

PD Tal vez se pregunte cómo sabe uno qué definición debe usar y cuándo. Bueno, eso es simple. En el contexto de la ecuación de Dirac

• Si se supone que debes encontrar el Operador Adjunto de Dirac$(i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)^\dagger$, simplemente tendrá que usar la definición aplicable a los operadores, que es el Valor esperado de este Operador.

• Si se supone que debe encontrar una ecuación similar a Dirac que sería satisfecha por el vector conjugado hermitiano$|\psi\rangle^\dagger$, entonces esto es aún más simple, ya que no necesita encontrar ningún valor esperado. Solo la transpuesta compleja conjugada de toda la ecuación. Entonces, TODOS los operadores dependientes del espacio-tiempo como$\frac{\mathrm d}{\mathrm {dx}}$no se verá afectado .

Quizás el siguiente argumento sea más convincente:

1. La ecuación de Dirac$^1$

   $$(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\psi~=~0 \tag{A}$$ es por el lema fundamental del cálculo variacional equivalente a $$\forall \phi:\quad 0~=~\int d^4x~\bar{\phi}(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\psi, \tag{B}$$ dónde$\phi$es un espinor de Dirac arbitrario (fuera de la cáscara).

2. La conjugación hermítica en el espacio espinoso de Dirac conduce a

   $$\forall \phi:\quad0~=~\int d^4x~\bar{\psi}(-i\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\!\mu}~\gamma^{\mu}-m)\phi, \tag{C}$$ que es equivalente a $$\bar{\psi}(i\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{\!\mu}~\gamma^{\mu}+m)~=~0,\tag{D}$$ cf. el comentario anterior de Javier.

3. Por otro lado, si además integramos (C) por partes, obtenemos (después de descartar los términos de contorno)

   $$\forall \phi:\quad 0~=~\int d^4x~\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\stackrel{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\phi, \tag{E}$$ donde ahora actúa la derivada$\phi$.

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$^1$Usamos las siguientes convenciones:

Estoy totalmente de acuerdo con las respuestas anteriores, pero hay un problema cuando intentas probar que el operador hamiltoniano es hermitiano. De hecho, en el adjunto hermitiano del hamiltoniano de Dirac, los términos de las matrices alfa tendrán un signo menos debido al factor i, y la derivada espacial no se verá afectada. Así que al final tendremos que decir que las matrices alfa deben ser antihermitianas para que la hamiltoniana sea hermítica. Lo siento por no escribir las expresiones. Soy nuevo aquí y todavía no sé cómo escribir ecuaciones.