Confusión sobre el término de masa de Dirac

En base quiral, ψ = ( ψ L ψ R ) y por lo tanto, ψ ¯ = ψ † γ 0 = ( ψ L † ψ R † ) γ 0 = ( ψ R † ψ L † ) . Por lo tanto, por multiplicación de matrices, ψ ¯ ψ = ψ R † ψ L + ψ L † ψ R .

Nuevamente usando operadores de proyección quiral se puede demostrar que, ψ ¯ ψ = ψ ¯ R ψ L + ψ ¯ L ψ R .

Por lo tanto, estas dos relaciones sugieren que, también podemos escribir, ψ ¯ como ψ ¯ = ( ψ ¯ R ψ ¯ L ) .

  1. ¿Tengo razón? En caso afirmativo, ¿cómo puedo mostrar ψ ¯ = ( ψ ¯ R ψ ¯ L ) a partir de la ψ ¯ = ψ † γ 0 = ( ψ R † ψ L † ) ? Además, esto implica:

    ψ R † ψ L + ψ L † ψ R = ψ ¯ R ψ L + ψ ¯ L ψ R

  2. ¿Tengo razón? En caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrar la última relación a partir de cualquiera de sus lados?

En la oportunidad de sonar ignorante, pero ¿qué significa ψ ¯ R ¿significar? Además, ¿puede dar una referencia donde se prueba el reclamo?
@nephente ψ ¯ R = 1 + γ 5 2 ψ y ψ ¯ L = 1 − γ 5 2 ψ . No entendí de qué reclamo hablas. ¿Puedes mencionarlo específicamente?
De acuerdo. me refería Ψ ¯ Ψ = Ψ ¯ R Ψ L + Ψ ¯ L Ψ R
@nephente- la prueba es la siguiente: ψ ¯ L ψ R + ψ ¯ R ψ L = ψ ¯ ( 1 + γ 5 2 ) ( 1 + γ 5 2 ) ψ + ψ ¯ ( 1 − γ 5 2 ) ( 1 − γ 5 2 ) ψ = ψ ¯ ψ . Los pasos intermedios son triviales de resolver.

Respuestas (1)

Creo que su confusión es con la notación ya que, desafortunadamente, hay dos formas comunes de denotar espinores proyectados. Una forma es escribir:

ψ ≡ ( ψ L ψ R )
En esta notación ψ L y ψ R son espinores de Weyl de dos componentes. Sin embargo, también se utiliza una segunda notación donde
ψ L ≡ PAG L ψ , ψ R ≡ PAG R ψ
y PAG L / R son los operadores de proyección. Ahora ψ L y ψ R son espinores de cuatro componentes con un valor cero para dos de los componentes.

En la primera notación (donde ψ L / R son espinores de Weyl) el término de Dirac toma la forma,

metro ψ ¯ ψ = metro ( ψ R † ψ L + h . C . )
y en el segundo (donde ψ L / R son cuatro objetos componentes) toma la forma,
metro ψ ¯ ψ = metro ( ψ R ¯ ψ L + h . C . )
Es solo una cuestión de convención y el resultado final es el mismo.

@JeffDror -Por lo tanto, creo que también puedo escribir ψ ¯ = ( ψ ¯ R ψ ¯ L ) , si considero todo ψ ¯ L , R como filas de 4 componentes. ¿Tengo razón?
@Roopam, sí, esa es una forma de escribirlo. Aunque es un poco descuidado. Lo que realmente queremos decir es en notación de cuatro componentes: ψ ¯ = ψ L ¯ + ψ R ¯
@JeffDror - Está bien. Entiendo. Tus respuestas son muy útiles. De hecho, estaba confundido por las anotaciones.
Ningún problema. Me alegra que te gusten.
La notación en la que ψ L y ψ R denotan espinores de 2 componentes sugieren que hay un 2 × 2 operador de proyección de quiralidad. Sin embargo, hasta donde yo sé, no existe tal cosa y los operadores de proyección de quiralidad siempre son 4 × 4 matrices 1 2 ( 1 ± γ 5 ) @JeffDror
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