¿Son ambos el hamiltoniano de Dirac?

A veces, veo esto llamado el hamiltoniano de Dirac:

H ^ = α → ⋅ pag → ^ + β metro ;
pero, si tomamos la densidad lagrangiana de Dirac, obtenemos la densidad hamiltoniana correspondiente mediante la transformación de Legendre e integramos, obtenemos --- si no me equivoco ---
H ^ = ∭ R 3 Ψ ¯ ^ ( X ) ( − i γ i ∂ i + metro ) Ψ ^ ( X ) d 3 X .

Si ambas expresiones son iguales, esto significaría

β 1 ^ = ∭ R 3 Ψ ¯ ^ ( X ) Ψ ^ ( X ) d 3 X , α i pag ^ i = − i ∭ R 3 Ψ ¯ ^ ( X ) γ i ∂ i Ψ ^ ( X ) d 3 X .
¿Puede ser esto? ¿O me estoy perdiendo algo y estos dos hamiltonianos no son el mismo objeto?

¿Estás seguro de que no hay restricciones en el sistema?
Con un hamiltoniano, la solución se interpreta como una función de onda y con el otro se interpreta como un campo clásico. Así que no hay razón para que sean iguales.

Respuestas (1)

La principal diferencia entre la primera y la segunda expresión para el hamiltoniano de la ecuación de Dirac es que la primera considera la ecuación de Dirac como una descripción para una sola partícula, mientras que la segunda asume que la Ψ ^ s son operadores de campo (que sugiere el sombrerito encima de ellos) que actúan en el espacio de Fock, que es un espacio de estados de múltiples partículas que van desde el estado de vacío (sin partícula) sobre el estado de 1 partícula hasta estados de alta arbitraria. número de partículas. Fock space es un nombre abreviado para un espacio en "representación de número de ocupación". Entonces, la segunda representación del hamiltoniano es más general y contiene algún tipo de la primera expresión como un caso especial.

El enfoque moderno de la ecuación de Dirac prefiere la representación de múltiples partículas, ya que el punto de vista de la ecuación de Dirac como descripción de una partícula se ve comprometido por la aparición de estados de energía/frecuencia negativa. Este problema en realidad se puede resolver considerando la ecuación de Dirac como una descripción en el espacio multipartícula, es decir, el espacio de Fock.

¡Gracias, Federico! ¿Cómo podría ver ese caso especial explícitamente? ¿Qué debo imponer?
Para verlo, uno tiene que desarrollar los operadores de campo y expresar H con operadores de creación y aniquilación. Luego dejas que este operador actúe en un estado de 1 electrón y obtienes la energía de 1 partícula x estado de 1 electrón. Por otro lado, reemplaza la solución de 1 partícula de la ecuación de Dirac u (p) en la primera ecuación, nuevamente obtiene la energía de la solución de partícula x 1 partícula. Ambos proporcionan el mismo resultado. Pero el H construido con operadores de campo también puede actuar en estados de múltiples partículas, lo que lo hace más general.
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