Normalización de bispinores de Dirac

Question

Normalización de bispinores de Dirac

Física
espinores
ecuación de dirac
matrices de dirac
teoría cuántica de campos

mikis

Dejar $u_\lambda(\vec{k})$ y $v_\lambda (\vec{k})$ ser soluciones de las siguientes ecuaciones

(k̸ - metro) {tu}_{λ} (\vec{k}) = 0

$(\not k-m)u_\lambda(\vec{k})=0$

(k̸ + metro) v_{λ} (\vec{k}) = 0

$(\not k+m)v_\lambda(\vec{k})=0$ Suponer que

u_{λ} (\vec{k})^{†} u_{σ} (\vec{k}) = \frac{ω (\vec{k})}{m} δ_{λ σ}

$u_\lambda(\vec{k})^\dagger u_\sigma(\vec{k})=\frac{\omega(\vec{k})}{m}\delta_{\lambda\sigma}$ y

v_{λ} (\vec{k})^{†} v_{σ} (\vec{k}) = \frac{ω (\vec{k})}{m} δ_{λ σ}

$v_\lambda(\vec{k})^\dagger v_\sigma(\vec{k})=\frac{\omega(\vec{k})}{m}\delta_{\lambda\sigma}$ , dónde

ω (\vec{k}) = \sqrt{m^{2} + {\vec{k}}^{2}}

$\omega(\vec{k})=\sqrt{m^2+\vec{k}^2}$ . Estoy tratando de mostrar que implica que

{\bar{tu}}_{λ} (\vec{k}) {tu}_{σ} (\vec{k}) = d_{λ σ} {\bar{v}}_{λ} (\vec{k}) v_{σ} (\vec{k}) = - d_{λ σ} .

$\bar{u}_\lambda(\vec{k})u_\sigma(\vec{k})=\delta_{\lambda \sigma} \qquad \quad \bar{v}_\lambda(\vec{k})v_\sigma(\vec{k})=-\delta_{\lambda \sigma}.$

Mi pregunta es: ¿Cómo hacerlo sin tomar ninguna representación especial de las matrices de Dirac y sin hacerlo en un marco de referencia especial (es decir, marco de reposo)? Además, no asumo la ley de transformación para estos bispinores (así que realmente no asumo que son bispinores en el sentido correcto). Lo único que asumo es que las ecuaciones de Dirac para $u$ y $v$ están satisfechos y conocemos las reglas anticonmutación para $\gamma$ -matrices y hemos dado la normalización anterior para $u^\dagger u$ .

Respuestas (1)

Normalización de bispinores de Dirac

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Pista: quieres calcular

\begin{matrix} (1) & {\bar{tu}}_{s} (pag) γ^{m} {tu}_{s^{'}} (pag) = ? \end{matrix}

$\bar u_s(\boldsymbol p)\gamma^\mu u_{s'}(\boldsymbol p)=\ ? \tag{1}$

Al ser un objeto covariante, el índice vectorial en el rhs solo puede ser proporcionado por $p^\mu$ , y por lo tanto

\begin{matrix} (2) & {\bar{tu}}_{s} (pag) γ^{m} {tu}_{s^{'}} (pag) = a_{s s^{'}} {pag}^{m} \end{matrix}

$\bar u_s(\boldsymbol p)\gamma^\mu u_{s'}(\boldsymbol p)=a_{ss'} p^\mu \tag{2}$ (por que es

a

$a$ independiente de

p

$\boldsymbol p$ ?)

Encontrar $a_{ss'}$ , contrae ambos lados de esta expresión con $p_\mu$ , y usa la ecuación $\not pu=mu$ .

Ahora deja $\mu=0$ .

Ok, agreguemos algunos detalles más:

Si contraes ambos lados de $(2)$ con $p_\mu$ , usted obtiene
$metro {\bar{tu}}_{s} (pag) {tu}_{s^{'}} (pag) = a_{s s^{'}} {metro}^{2}$ $\begin{equation}m\bar u_s(\boldsymbol p)u_{s'}(\boldsymbol p)=a_{ss'}m^2\end{equation}$ Por otro lado, si dejas $\mu=0$ en $(2)$ , usted obtiene ${tu}_{s}^{†} (pag) {tu}_{s^{'}} (pag) = ω_{pag} a_{s s^{'}}$ $\begin{equation}u^\dagger_s(\boldsymbol p)u_{s'}(\boldsymbol p)=\omega_{\boldsymbol p}a_{ss'}\end{equation}$ A partir de estas dos ecuaciones, debería poder resolver para $\bar u_s(\boldsymbol p)u_{s'}(\boldsymbol p)$ .

@mikis no, tienes $u^\dagger$ cuando dejas $\mu=0$ (porque $\bar u\gamma^0=u^\dagger$ )
De acuerdo. Todavía tengo una pregunta: usaste el hecho de que $\bar{u}\gamma^\mu u$ es un objeto covariante. Cómo verlo usando sólo el conocimiento que $u$ satisfacer la ecuación de Dirac dada? Creo que para hacerlo necesitamos una ley de transformación para bispinores.
@mikis, la ecuación de Dirac es covariante y, por lo tanto, también lo son sus soluciones (por ejemplo, la ecuación de onda clásica $(\partial_t^2-\nabla^2)y(x)=0$ tiene soluciones $y=\exp(\omega t-\vec k\cdot\vec x)$ , que son covariantes, como ya sabes).
El $u$ los bispinores son covariantes por definición. Esto no tiene nada que ver con el hecho de que satisfacen la ecuación de Dirac. Podríamos haber elegido diferentes fases y normalizaciones para ellas y todas las propiedades de transformación covariante dejarían de ser ciertas. El caso es que $u(\vec p)$ se DEFINE como un impulso apropiado de $u(0)$ .
@Blazej esa es una definición válida de $u$ , Pero no el único. La mayoría de los libros de texto introductorios definen el $u,v$ espinores como cualquier base en el espacio de espinores, donde el $u$ satisfacer $pu=mu$ y el $v$ es satisfacer $pv=-mv$ . Otras limitaciones, como $S_zu(0)=\pm 1/2$ basta con especificar de forma única estos objetos, pero para resolver la ecuación de Dirac, cualquier base es tan buena como cualquier otra (su definición es útil cuando se quiere estudiar el contenido de partículas de la teoría, pero innecesaria si solo se quiere resolver la ecuación de Dirac , decir, como una ecuación de onda clásica). (No hace falta decir que tu defensa es mejor).
Entonces, debemos asumir que nuestro $u$ se eligen de forma covariante? De todos modos, si no fuera por $u$ tal vez sea posible obtener de alguna manera la covarianza de $\bar{u}\gamma^\mu u$ sólo de la ecuación de Dirac (sin esta suposición adicional de $u(p)$ siendo un impulso de $u(0)$ )? Es el punto principal de mi pregunta: ¿Es suficiente la ecuación de Dirac para hacerlo?
Estoy de acuerdo en que si especifica suficientes covariantes bilineales, las u se especificarán esencialmente de forma única. Pero no completamente porque la fase es ambigua (no afecta los valores de las covariantes bilineales). Sin embargo, aparecerá si considera bispinores que son combinaciones lineales (términos de interferencia).

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