Propagador de volumen a límite

1. Dentro de la teoría de la distribución , una formulación matemáticamente rigurosa de la ecuación de OP. (2) es

   $$\lim_{z\to 0^+} z^{\Delta-d}K_{\Delta}(z,x)~=~\delta^d(x), \tag{A}$$ dónde $$K_{\Delta}(z,x)~:=~ \frac{\Gamma(\Delta)}{\pi^{\frac{d}{2}} \Gamma(\Delta\!-\!\frac{d}{2})} \left( \frac{z}{z^2+x^2}\right)^{\Delta},\qquad x~\in~\mathbb{R}^d, \qquad \Delta >\frac{d}{2},\tag{B}$$ es el propagador normalizado, véase, por ejemplo, Ref. 1. La prueba de la fórmula (A) es una aplicación directa de, por ejemplo, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue después de introducir funciones de prueba.

2. A modo de comparación, tenga en cuenta que

   $$K_{\Delta}(z,x)~\longrightarrow~\left\{\begin{array}{ccl} 0\text{ almost everywhere} & \text{if} & \Delta~<~d \cr \delta^d(x) &\text{if} & \Delta~=~d\cr \text{too singular}& \text{if} & \Delta~>~d\end{array} \right\} \text{ for } z~\to~ 0^+. \tag{C}$$ el ultimo caso$\Delta>d$es demasiado singular para tener sentido como una distribución.

Referencias:

1. DZ Freedman, SD Mathur, A. Matusis & L. Rastelli, Funciones de correlación en el$CFT_d/AdS_{d+1}$correspondencia, Nucl. física B546 (1999) 96 , arXiv:hep-th/9804058 ; ecuaciones (11)-(12).

Para mostrar que alguna función es la distribución Delta, debe demostrar que

1. Es cero excepto donde desaparece el argumento de la función.
2. Se integra a 1 cuando se integra en todo el rango de coordenadas.

Podemos ver estas dos propiedades explícitamente.

1. Si$x-x'\not=0$, entonces $$\lim_{z\to0}K(z,x,x')=\lim_{z\to0}\frac{z^\Delta}{(x-x')^{2\Delta}}=0.$$ Tan cerca del límite,$K(z,x,x')=0$si$x-x'\not=0$.
2. podemos hacer la integral $$\begin{align} \int d^dx\, K(z,x,x')&=\int d^dx\, K(z,x,0)\\ &= \int d^dx\,\frac{z^\Delta}{(z^2+x^{2})^\Delta}\\ &= z^\Delta*S^{d-1}\int_0^\infty dr\,\frac{r^{d-1}}{(z^2+r^{2})^\Delta}\\ &= z^\Delta*\frac{2\pi^{\frac{d}{2}}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}*z^{d-2\Delta}\frac{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)\Gamma\left(\Delta-\frac{d}{2}\right)}{2\Gamma(\Delta)}\\ &=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}\Gamma\left(\Delta-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\Delta)}z^{d-\Delta} \end{align}$$ En el primer paso hemos cambiado$x$. En el tercer paso, cambiamos a coordenadas esféricas. Como la integral solo depende del radio, simplemente obtenemos un factor de la superficie de la esfera unitaria. La integral resultante se puede hacer explícitamente.

El resultado es

$$\lim_{z\to0}z^{\Delta-d}K(z,x,x')=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}\Gamma\left(\Delta-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\Delta)}\delta^d(x-x')$$ que es lo que significa la declaración $$K(z,x;x')~\sim ~z^{d-\Delta}\delta(x-x').$$