Feynman Green Function en 1+1D para d'Alembertian

Question

Feynman Green Function en 1+1D para d'Alembertian

Física
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Erich

Estoy tratando de obtener la función verde de Feynman (es decir, estoy usando la prescripción causal de Feynman para calcular la función verde) para el D'Alembertian en 1 + 1D, estoy encontrando

{GRAMO}_{F}^{(2)} (t; \vec{X}) = \frac{1}{4 π} \frac{Θ (t^{2} - {\vec{X}}^{2})}{\sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}} - \frac{i}{4 π^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} d z^{'} fotovoltaica (\frac{1}{t^{2} - {\vec{X}}^{2} - z^{' 2}}) .

$G^{(2)}_F (t; \vec x) = \frac{1}{4\pi} \frac{\Theta(t^2-\vec x^2)}{\sqrt{t^2-\vec x^2}} - \frac{i}{4\pi^2} \int_{-\infty}^\infty dz' \text{P.V.}\left(\frac{1}{t^2-\vec x^2 - z'^2}\right).$

¿Este resultado es correcto o incorrecto? No tengo ninguna referencia con la respuesta. Suponiendo que el resultado sea correcto, ¿hay alguna forma de simplificarlo más?

La forma en que encuentro el resultado.

He utilizado el procedimiento habitual (como en Eleftherios Economou y en Morse Feshbach) para encontrar la función de Green en 1+1D como un potencial generado por una línea infinita de carga en 2+1D.

{GRAMO}_{F}^{(2)} (t; \vec{X}) = \int d t^{'} d^{3} r^{'} {GRAMO}_{C}^{(3)} (t - t^{'}; \vec{r} - {\vec{r}}^{'}) j (t^{'}, {\vec{r}}^{'}) .

$G^{(2)}_F (t; \vec x) = \int dt' d^3 r' G^{(3)}_C (t-t'; \vec r-\vec r') J(t',\vec r').$

La función de verde de Feynman en 2+1D es,

{GRAMO}_{F}^{(3)} (t - t^{'}; \vec{r} - {\vec{r}}^{'}) = \frac{1}{4 π} [d ((t - t^{'})^{2} - | | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} | |) - \frac{i}{π} fotovoltaica (\frac{1}{(t - t^{'})^{2} - | | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} | |})]

$G^{(3)}_F (t-t'; \vec r-\vec r') = \frac{1}{4\pi} \left[\delta((t-t')^2-||\vec r - \vec r'||) - \frac{i}{\pi} \text{P.V.}\left(\frac{1}{(t-t')^2-||\vec r-\vec r'||}\right)\right]$

como se puede comprobar en Bogoliubov-Shirkov (Apéndice II, pág. 605, A2b.6)

Y la fuente es,

j (t^{'}, {\vec{r}}^{'}) = d (X^{'}) d (y^{'}) d (t^{'})

$J(t',\vec r') = \delta(x') \delta(y') \delta(t')$

De modo que,

{GRAMO}_{F}^{(2)} (t; \vec{X}) = \int_{- \infty}^{\infty} d z^{'} \frac{1}{4 π} [d (t^{2} - {\vec{X}}^{2} - z^{' 2}) - \frac{i}{π} fotovoltaica (\frac{1}{t^{2} - {\vec{X}}^{2} - z^{' 2}})]

$G^{(2)}_F (t; \vec x) = \int_{-\infty}^\infty dz'\frac{1}{4\pi} \left[\delta(t^2-\vec x^2 - z'^2) - \frac{i}{\pi} \text{P.V.}\left(\frac{1}{t^2-\vec x^2 - z'^2}\right)\right]$

Usando una propiedad básica delta de Dirac,

d (X^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2 | a |} (d (X + a) + d (X - a))

$\delta(x^2-a^2) = \frac{1}{2|a|} \left(\delta(x+a) + \delta(x-a) \right)$ obtenemos para la primera integral,

\frac{1}{8 π} \int_{- \infty}^{\infty} d z^{'} \frac{1}{| | \sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}} | |} (d (z - \sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}) + d (z + \sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}))

$\frac{1}{8\pi} \int_{-\infty}^\infty dz'\frac{1}{||\sqrt{t^2-\vec x^2}||} \left(\delta(z-\sqrt{t^2-\vec x^2}) + \delta(z+\sqrt{t^2-\vec x^2})\right)$

Para $T^2>\vec x^2$ (intervalo similar al tiempo) los puntos $\pm \sqrt{t^2-\vec x^2}$ son reales y pertenecen al intervalo $(-\infty,\infty)$ . Entonces tenemos (para la primera integral),

\frac{1}{4 π} \frac{Θ (t^{2} - {\vec{X}}^{2})}{\sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}}

$\frac{1}{4\pi} \frac{\Theta(t^2-\vec x^2)}{\sqrt{t^2-\vec x^2}}$

Y finalmente,

{GRAMO}_{F}^{(2)} (t; \vec{X}) = \frac{1}{4 π} \frac{Θ (t^{2} - {\vec{X}}^{2})}{\sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}} + \int_{- \infty}^{\infty} d z^{'} fotovoltaica (\frac{1}{t^{2} - {\vec{X}}^{2} - z^{' 2}})

$G^{(2)}_F (t; \vec x) = \frac{1}{4\pi} \frac{\Theta(t^2-\vec x^2)}{\sqrt{t^2-\vec x^2}} + \int_{-\infty}^\infty dz' \text{P.V.}\left(\frac{1}{t^2-\vec x^2 - z'^2}\right)$

Solo pongo aquí lo que sucede con mi solución si nos ponemos de la singularidad del cono de luz ( $t=\pm \vec x$ ). Creo que podemos olvidarnos del valor principal en este caso.

Si tomo la integral y la resuelvo, obtengo

\int_{- \infty}^{\infty} d z^{'} (\frac{1}{t^{2} - {\vec{X}}^{2} - z^{' 2}}) = \frac{i π}{\sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}} .

$\int_{-\infty}^\infty dz' \left(\frac{1}{t^2-\vec x^2 - z'^2}\right) = \frac{i\pi}{\sqrt{t^2-\vec x^2}}.$

Así que entiendo,

{GRAMO}_{F}^{(2)} (t; \vec{X}) = \frac{1}{4 π} \frac{1}{\sqrt{t^{2} - {\vec{X}}^{2}}} (Θ (t^{2} - {\vec{X}}^{2}) + 1)

$G^{(2)}_F (t; \vec x) = \frac{1}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{t^2-\vec x^2}} \left(\Theta(t^2-\vec x^2) + 1\right)$

auxsvr

Por cierto, el PV pretende ser un símbolo que acompaña a la integral, no tiene sentido al lado de una función, excepto como notación que implica la integral.

auxsvr

Aparentemente usaste

lim_{ϵ \to 0} \frac{1}{x \pm i ϵ} = PV \frac{1}{x} \mp i π δ (x)

$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{x\pm i \epsilon} = \text{PV} \frac{1}{x} \mp i\pi \delta(x)$ , ¿bien?

auxsvr

Cuando intentamos encontrar la función de Green, observamos que la integral diverge (la parte PV), por lo tanto, debemos tomar las soluciones retrasadas o avanzadas, que están a la izquierda de la fórmula de Sokhotski-Plemelj. Si parte de la definición de la función de Green, verá que hizo las cosas al revés. Además, las constantes en la definición de la función de Green son irrelevantes.

Respuestas (1)

Feynman Green Function en 1+1D para d'Alembertian

Por cierto, el PV pretende ser un símbolo que acompaña a la integral, no tiene sentido al lado de una función, excepto como notación que implica la integral.
Aparentemente usaste $\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{x\pm i \epsilon} = \text{PV} \frac{1}{x} \mp i\pi \delta(x)$ , ¿bien?
Cuando intentamos encontrar la función de Green, observamos que la integral diverge (la parte PV), por lo tanto, debemos tomar las soluciones retrasadas o avanzadas, que están a la izquierda de la fórmula de Sokhotski-Plemelj. Si parte de la definición de la función de Green, verá que hizo las cosas al revés. Además, las constantes en la definición de la función de Green son irrelevantes.

auxsvr · Answer 1

En primer lugar, la función de Green retrasada (causal) para el dalembertiano es ( $\vec{R} \equiv \vec{x} - \vec{x}'$ , $T \equiv t - t'$ , $R\equiv |\vec{R}|$ ),

{GRAMO}_{R}^{(3)} (R, T) = \frac{Θ (T) d (T - R / C)}{4 π R} .

$G^{(3)}_R(R,T) = \frac{\Theta(T)\delta(T-R/c)}{4\pi R}.$ Esto conduce al potencial retardado en el electromagnetismo. Depende solo de la diferencia de vectores de posición debido a la simetría de la condición de contorno en el espacio ilimitado, y de la diferencia de tiempo, porque las ecuaciones definitorias y la condición de contorno son invariantes si sustituimos

t \to t - t^{'}

$t \to t-t'$ .

Usando el método de incrustación o descenso con las condiciones de contorno apropiadas, la función de Green en la dimensión 2 viene dada por ( $r \equiv \sqrt{ (x-x')^2 + (y-y')^2}$ ),

{GRAMO}_{R}^{(2)} (r, T) = \frac{Θ (T)}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d (T - R / C)}{R} d z = \frac{Θ (T)}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d (T - \sqrt{r^{2} + (z - z^{'})^{2}} / C)}{\sqrt{r^{2} + (z - z^{'})^{2}}} d (z - z^{'}),

$G^{(2)}_R(r,T) = \frac{\Theta(T)}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\delta ( T - R/c)}{R} d z = \frac{\Theta(T)}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{\delta\left( T - \sqrt{ r^2 + (z-z')^2}/c \right)}{\sqrt{ r^2 + (z-z')^2}} d (z-z'),$ que es igual

{GRAMO}_{R}^{(2)} (r, T) = \frac{Θ (T - r / C)}{2 π \sqrt{T^{2} - r^{2} / C^{2}}},

$G^{(2)}_R(r,T) = \frac{\Theta(T - r/c)}{2\pi \sqrt{T^2- r^2/c^2}},$ para

T > 0

$T>0$ , de lo contrario

0

$0$ .

La solución de valor principal se puede encontrar como la combinación lineal de las funciones retrasadas y avanzadas, de acuerdo con la expansión

- fotovoltaica \int_{- \infty}^{\infty} \frac{ϕ_{pag} (X) ϕ_{pag}^{*} (X^{'})}{λ_{pag}} d pag = {GRAMO}^{\pm} \mp Λ

$-\text{PV} \int_{-\infty}^\infty \frac{\phi_p(x) \phi^*_p(x')}{\lambda_p} d p = G^{\pm} \mp \Lambda$ en términos de funciones propias, donde

Λ

$\Lambda$ es la integral que comprende las funciones propias con valor propio cero. También podrías ver esto con el teorema de Sokhotski-Plemelj.

Ow... lo siento, parece que estaba cometiendo un error. ¡Tenía la idea de que la receta causal era la receta de Feynman, no la retrasada! Veré el teorema de Sokhotski-Plemelj.
Otra cosa, lo que le he encontrado a la prescripción retardada tiene un $\Theta(t)$ (que concuerda con Hassani - Math Phys - Problema 22.26) en lugar del $\Theta(t-r/c)$ has encontrado
Debería ser $\Theta(T-r/c)$ , de lo contrario, la raíz cuadrada se vuelve imaginaria, lo que no está permitido por la definición de las raíces del argumento de la función delta.
No quise decir eso. Lo que estoy tratando de decir es que el $G^{(3)}$ Escribí fue por la prescripción de Feynman (a la que llamaba 'causal') no por la prescripción retardada. Ya he corregido mi pregunta para eliminar la mención a 'causal', motivado por el libro Bogoliubov. La receta de Feynman significa que la integral a resolver para encontrar la función de Green es $\int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{e^{-i p_\mu x^\mu}}{-p_\mu p^\mu - i \varepsilon}$
Bien, $\int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{e^{ip_\mu x^\mu}}{-p_\mu p^\mu -i \epsilon}$ es la función retardada y, dado que la función de Green (no convergente) debe ser real (la dalembertiana es hermítica), su integral produce la función de Green retardada.
Ok.. Veo que no he sido del todo claro. $-p_\mu p^\mu - i \varepsilon$ es la notación habitual en muchos libros de texto (Bogoliubov, Peskin,...) pero la más formal sería: $-p_\mu p^\mu - 2 i \varepsilon |\vec p|$ por la receta de Feynman , $-p_\mu p^\mu - 2 i \varepsilon p_0$ por la prescripción retardada y $-p_\mu p^\mu + 2 i \varepsilon p_0$ para la prescripción avanzada . El hecho de que muchos libros escriban $2\varepsilon |\vec p|$ como $\varepsilon$ (que seguí escribiéndote) puede ser un poco confuso.

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Erich

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