Propagador de partículas libres mediante integrales de trayectoria

Question

Propagador de partículas libres mediante integrales de trayectoria

Física
integral de trayectoria
mecánica cuántica

hijo de saturno

Estoy tratando de recrear un trabajo que un profesor me explicó en su oficina, específicamente derivando el propagador de partículas libres que va de $(y,0)$ a $(x,T)$ utilizando la integral de trayectoria de Feynman. Estoy tratando de reproducir

k (X, T; y, 0) = \sqrt{\frac{metro}{2 π i ℏ T}} mi X pag [\frac{i metro (X - y)^{2}}{2 ℏ T}]

$K(x,T;y,0) = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}\mathrm{exp}[\frac{im(x-y)^2}{2\hbar T}]$ Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$K(x,T;y,0) = \int_y^x\mathscr{D}[x(t)]e^{iS[x(t)]/\hbar}.$

Así que primero calculo la acción:

$S[x(t)] = \int_0^T \frac{1}{2}m\dot{x}^2 \mathrm{d}t$

Siempre podemos dividir el camino $x(t)$ de la siguiente manera: $x(t) = x_{cl} (t) +q(t)$ , dónde $x_{cl}(t)$ dada por

X_{C yo} (t) = \frac{(X - y) t}{T} + y

$x_{cl}(t) = \frac{(x-y)t}{T} + y$ es el camino clásico y

q (t)

$q(t)$ es una "fluctuación cuántica".

porque los extremos de $x(t)$ y $x_{cl}(t)$ son iguales, lo conseguimos $q(0)=q(T)=0$ , y debido a que cualquier camino debe ser diferenciable por partes, podemos representar $q(t)$ en una Serie de Fourier:

q (t) = \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} s i norte (\frac{norte π t}{T})

$q(t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n sin(\frac{n\pi t}{T})$ .

La acción es entonces

S [X (t)] = \frac{1}{2} metro \int_{0}^{T} (\frac{X - y}{T})^{2} + 2 \frac{X - y}{T} \dot{q} + {\dot{q}}^{2} d t

$S[x(t)] = \frac{1}{2}m\int_0^T (\frac{x-y}{T})^2 + 2\frac{x-y}{T} \dot{q} + \dot{q}^2 \mathrm{d}t$

El primer término es trivial, el segundo término se desvanece debido al teorema fundamental del cálculo y al hecho de que $q(t)$ desaparece en los puntos finales. Ahora para el último término obtenemos

\int_{0}^{T} {\dot{q}}^{2} d t = \int_{0}^{T} \sum_{norte = 1}^{\infty} \sum_{metro = 1}^{\infty} a_{norte} a_{metro} (\frac{norte π}{T}) (\frac{metro π}{T}) C o s (\frac{norte π t}{T}) C o s (\frac{metro π t}{T}) d t

$\int_0^T \dot{q}^2 \mathrm{d}t = \int_0^T \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} a_n a_m (\frac{n\pi}{T}) (\frac{m\pi}{T})cos(\frac{n\pi t}{T})cos(\frac{m\pi t}{T})\mathrm{d}t$

pero debido a la ortogonalidad sólo el $n=m$ términos sobreviven por lo que obtenemos

= \sum_{norte = 1}^{\infty} (\frac{norte π}{T})^{2} \int_{0}^{T} a_{norte}^{2} C o s^{2} (\frac{norte π t}{T}) d t = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(norte π)^{2}}{2 T} a_{norte}^{2}

$= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n\pi }{T})^2\int_0^T a_{n}^2cos^2(\frac{n\pi t}{T})\mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n\pi)^2}{2T}a_{n}^2$ .

Ahora, para hacer la integral de ruta real, "todas las rutas posibles" corresponderían a "todas las rutas posibles". $q(t)$ 's" que significaría todas las posibles $a_n$ 's. Así nuestra integral de trayectoria se convierte en:

k (X, T; y) = \underset{norte \to \infty}{límite} \int_{- \infty}^{\infty} d a_{1} \dots \int_{- \infty}^{\infty} d a_{norte} mi X pag {\frac{i metro}{2 ℏ} [\frac{(X - y)^{2}}{T} + \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(norte π)^{2}}{2 T} a_{norte}^{2}]}

$K(x,T;y) = \lim_{N\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}a_1\dotsi\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}a_N \mathrm{exp}\{\frac{im}{2\hbar}[\frac{(x-y)^2}{T} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n\pi)^2}{2T}a_{n}^2]\}$

Ahora, el primer término en el exponencial es claramente el mismo que el del propagador original, sin embargo, para las otras integrales, ¡obtengo una cantidad infinita de integrales que son infinitas! ¿Dónde falla mi razonamiento o álgebra?

PD: Sé que probablemente haya una forma más sencilla de hacerlo, pero como empezamos de esta manera, quiero saber cómo se puede hacer con este método.

Respuestas (2)

Propagador de partículas libres mediante integrales de trayectoria

Emilio Pisanty · Answer 1

Además de la respuesta de Jonathan, me parece que las integrales que te preocupan no son en realidad infinitas:

\int_{- \infty}^{\infty} d a_{1} \dots \int_{- \infty}^{\infty} d a_{norte} {mi}^{\frac{i metro}{2 ℏ} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{(norte π)^{2}}{2 T} a_{norte}^{2}} = \prod_{norte = 1}^{norte} \int_{- \infty}^{\infty} d a_{norte} {mi}^{i \frac{metro π^{2}}{4 ℏ T} {norte}^{2} a_{norte}^{2}}

$\int_{-\infty}^\infty da_1\cdots \int_{-\infty}^\infty da_N e^{\frac{im}{2\hbar}\sum_{n=1}^N\frac{(n\pi)^2}{2T}a_n^2} =\prod_{n=1}^N\int_{-\infty}^\infty da_n e^{i\frac{m \pi^2}{4\hbar T}n^2 a_n^2}$ y cada una de las integrales individuales es una integral de Fresnel con un resultado finito, incluida una fase no trivial. sin embargo, el

a_{n}

$a_n$ son longitudes y por lo tanto llevan información dimensional, por lo que su resultado final (proporcional a

(ℏ T / m)^{N / 2}

$(\hbar T/m)^{N/2}$ del análisis dimensional) está mal por algunos

N

$N$ -Constante dependiente que proviene de la normalización de la medida. Arreglar eso debería permitirte continuar con la diversión.

Dado que los límites son $-\infty \to \infty$ , cada factor es un gaussiano (analíticamente continuado), que es explícitamente computable sin necesidad de funciones especiales. Esto es exactamente lo que sucede en la regularización lineal por partes, por lo que es una buena señal de que seguramente aparecerá la respuesta correcta (una vez que la $N$ -se determina la normalización dependiente).
En realidad, no necesita continuar analíticamente un gaussiano. La integral converge tal como es (aunque más lentamente, sin duda) y es una integral de Fresnel del tipo que se ve en la óptica. Para que quede más claro, cambia a $u=v^2$ en $\int_0^\infty \cos(v^2) dv=\int_0^\infty \cos(u)\frac{du}{2\sqrt{u}}$ , que converge condicionalmente.

jonathan · Answer 2

No he comprobado los detalles de su método, pero la forma habitual de calcular la integral de trayectoria en QM es aproximar la trayectoria $x(t)$ como una función lineal por partes, con $N$ "piezas", y luego tomando el límite $N \to \infty$ . Ahora, la parte absolutamente clave de este procedimiento es que para cada $N$ la integral aparece con cierto peso $C_N$ (que es explícitamente computable), y es el límite de $C_N \int \prod_{i=1}^N dx_i \cdots$ que existe (y es igual al propagador), no el límite ingenuo de $\int \prod_{i=1}^N dx_i$ .

En su configuración, debe considerar, para cada $N$ , el espacio de polinomios trigonométricos de grado máximo $N$ (es decir, caminos $x(t) = \sum_{n=-N}^N a_n \sin(n\pi t/T$ ). En comparación con la ecuación de Schrödinger, debería ser posible calcular la constante apropiada $C_N$ . Entonces es el límite de $C_N \int \prod_{n=-N} da_n \cdots$ que tenderá al propagador.

Para ser más precisos, la versión más correcta de la integral de trayectoria es con respecto a la acción de primer orden, es decir

\int D X D pag {mi}^{\frac{i}{ℏ} \int pag \dot{q} - H d t}

$\int \mathcal{D} x \mathcal{D} p\ e^{\frac{i}{\hbar} \int p \dot{q} - H dt}$ Porque

x (t)

$x(t)$ y

p (t)

$p(t)$ son canónicamente conjugados, la "medida"

D x D p

$\mathcal{D}x \mathcal{D}p$ es natural y no requiere una constante dependiente de la regularización (la

C_{N}

$C_N$ mencionado anteriormente). Para la mayoría de las teorías, la

p

$p$ la dependencia anterior es gaussiana, por lo que podemos integrarla. Sin embargo , aunque esto suele ser conveniente, la medida resultante es de la forma

C D x

$C \mathcal{D}x$ , donde la constante

C

$C$ depende de la regularización.

Con suerte, esto ha sido lo suficientemente claro para darle una idea de cómo terminar el cálculo, pero lo suficientemente vago para no estropear los detalles (¡divertidos!). Si todavía está atascado, hágamelo saber en un comentario y le proporcionaré más detalles.

Propagador de partículas libres mediante integrales de trayectoria

hijo de saturno

Respuestas (2)

Emilio Pisanty

jonathan

Emilio Pisanty

jonathan

Más sobre la fórmula integral de la ruta de Feynman en la conferencia de Brian Cox y sus consecuencias

¿Cuáles son los postulados mínimos para hacer mecánica cuántica en la formulación de la integral de trayectoria sin conocer la formulación del operador?

Hamiltoniano de dos estados en la integral de trayectoria de Feynman

Obtención del hamiltoniano cuántico para partículas cargadas a partir de la formulación de la integral de trayectoria

Derivación de la forma lagrangiana de la integral de trayectoria de Feynman a través de la integración gaussiana

Integral de trayectoria en la teoría del campo euclidiano

Oscilador anarmónico QM - diagramas de Feynman, cálculo de energía libre

¿La integral de trayectoria de Feynman incluye trayectorias discontinuas?

¿Integral de trayectoria de Feynman y discretización de energía?

Derivación de Feynman de la ecuación de Schrödinger. Dependencia espacial potencial