¿Integral de trayectoria de Feynman y discretización de energía?

No estoy seguro de lo que espera de los ejemplos cualitativos en "términos sencillos". La amplitud de la evolución temporal de un punto a otro,

$$\langle x_f|U(T)|x_i\rangle=K(x_f,x_i;T)~,$$ evaluado a partir de la integral de trayectoria es el propagador , que, para el oscilador, resulta ser el célebre núcleo de Mehler de 1866 : una función de Green causal de la ecuación del oscilador. No es coincidencia que esto estuviera disponible 60 años antes de QM. El punto es que el propagador integral de trayectoria es en su mayoría clásico . La cuantización de los niveles de energía es en realidad una característica del dominio del tiempo compacto, como comenta @Qmechanic.

Específicamente, la acción clásica para el oscilador, de la referencia de WP anterior, equivale a

$$\begin{align} S_\text{cl} & = \int_{t_i}^{t_f} \mathcal{L} \,dt = \int_{t_i}^{t_f} \left(\tfrac12 m\dot{x}^2 - \tfrac12 m\omega^2 x^2 \right) \,dt \\[6pt] & = \frac 1 2 m\omega \left( \frac{(x_i^2 + x_f^2) \cos\omega(t_f - t_i) - 2 x_i x_f}{\sin\omega(t_f - t_i)} \right)~. \end{align}$$

El propagador, entonces, la amplitud anterior, se puede evaluar a partir de la integral funcional como

$$K(x_f, x_i;T) = \Large e^\frac{i S_{cl}}{\hbar} \small ~ \sqrt{ \frac{m\omega}{2\pi i \hbar \sin\omega(t_f - t_i)}}~~,$$ dónde $T=t_f-t_i$. Efectivamente, es la exponencial de la acción clásica, con una pequeña corrección de normalización por fluctuaciones cuánticas, que, sin embargo, no es tan importante.

• Los niveles de energía cuantificados ya están en los armónicos discretos predicados por la periodicidad de la acción clásica, ellos mismos ajenos a$\hbar$.

Esta expresión también es igual al propagador espacial de Hilbert convencional en términos de funciones de Hermite,

$$\begin{align} K(x_f, x_i;T ) & = \left( \frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin\omega T } \right)^\frac12 \exp{ \left( \frac{i}{2\hbar} m \omega \frac{ (x_i^2 + x_f^2) \cos \omega T - 2 x_i x_f }{ \sin \omega T } \right) } \\[6pt] & = \sum_{n = 0}^\infty \exp{ \left( - \frac{i E_n T}{\hbar} \right) } \psi_n(x_f) ~\psi_n(x_i)^{*}~, \end{align}$$ con el que propagarías tu ket al sostén de la amplitud en el espacio de Hilbert convencional (esta es la expresión que Mehler resumió en 1866). "profesional", fórmula.

Reescribe esto como

$$= \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^\frac12 e^\frac{-i \omega T} 2 \left( 1 - e^{-2 i \omega T} \right)^{-\frac12} \exp{ \left( - \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( \left(x_i^2 + x_f^2\right) \frac{ 1 + e^{-2 i \omega T} }{ 1 - e^{- 2 i \omega T}} - \frac{4 x_i x_f e^{-i \omega T}}{1 - e^{ - 2 i \omega T} }\right) \right) }\\ \equiv \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^\frac12 e^\frac{-i \omega T } 2 ~ R(T)~.$$

El$e^{-in\omega T }$Los modos de Fourier de R(T) y luego multiplicar este prefactor de energía de punto 0 se pueden comparar con la expansión de estado propio del espacio de Hilbert estándar del resolvente, para asegurarle el espectro cuantificado estándar del oscilador cuántico,$E_n = \left( n + \tfrac12 \right) \hbar \omega~.$

Aquí, frente a la discreción, basta apreciar la periodicidad esencial del sistema, la compacidad que obliga a una estructura armónica: la ondulación del sistema; y que la mayor parte es atribuible a la acción clásica en este (algo excepcional) paradigma cuadrático hamiltoniano.

En su libro de texto elemental, Feynman y Hibbs lo resuelven muy bien en los problemas 2-2, 3-8 (ecuaciones 2-9, 3-59) y "pico" en las ecuaciones (8-12), (8-13). (Incluso van ridículamente más allá de eso, tratando de hacer que usted "vea" que el kernel de Mehler se deconstruye a sí mismo en polinomios de Hermite, en mi opinión, llevando las solicitudes de su tipo demasiado lejos). En cualquier caso, seguir las matemáticas simples es en realidad menos oscuro. que resumirlo en palabrería de "código".

Debido a que esta es una pregunta conceptual, tal vez necesite una respuesta conceptual simple:

La integral de trayectoria de Feynman se puede representar como la integral de$e^{iS/ħ}$sobre todos los caminos posibles. Nota la$i$en el exponente, lo que obliga a que el integrando sea periódico con respecto al valor de S (que es de valor real). Establecer la variación de la integral igual a cero selecciona conjuntos discretos de caminos. Esa, creo, es la forma más sencilla de entender la discreción de los estados de energía en el oscilador (cuya energía está estrechamente ligada a S).