Interpretación del propagador

En mecánica cuántica, es claro que$\langle x|y\rangle = 0$para$x\ne y$, dónde$|x\rangle$es el estado con la partícula en la posición$x$. (Observe que esto$|x\rangle$es diferente del significado habitual en la mayoría de los libros de texto. En esta interpretación, lo normalizamos de tal manera que$\langle x | x \rangle=1$.) Sin embargo, estoy un poco confundido acerca de esta imagen en la teoría relativista del campo cuántico.

El ejemplo de juguete con el que estaba jugando son los estados de una partícula en el campo libre bosónico masivo. Supongamos nuestro espacio de Hilbert en el tiempo$0$ser$\mathcal{H} = \text{span} \{|x\rangle|x^0=0\}$, dónde$|x\rangle$representa el estado en el que se encuentra la partícula$x$.

Uno puede encontrar$\langle x |y\rangle=D(x-y)=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-m^2+i\epsilon}$en la mayoría de los libros de texto. Y después de algunos cálculos, uno puede ver que$D(0)=\infty$y$D(x)\ne 0$incluso si$x\ne0$(es decir, cuando están separados espacialmente). Lo encontré confuso cuando juntamos estos hechos$\langle x |y\rangle=D(x-y)$:

1. No está normalizado para$1$cuando$x=y$.

2. Supongamos que la normalización no es un problema y, de hecho,$\langle x|y\rangle \ne 0$para$x\ne y$, ¿cómo debemos entender esta diferencia con la mecánica cuántica? ¿Viene esto del efecto relativista?

Estoy bastante interesado/sorprendido/preocupado por el comportamiento en 2 ya que si esto fuera cierto, sería algo ambiguo escribir$|x\rangle$en el sentido de que también es una combinación lineal de partículas en otras posiciones.

editar: creo que hay un punto que aún no se explica en las respuestas. Trataré de mostrar el punto usando la siguiente pregunta.

Pregunta: Debería

$$\int|x,t=0\rangle \langle x,t=0| d^Dx = \text{some const} \cdot I \tag{1}$$ (digamos que estamos en la dimensión D+1)

Esto es cierto en el contexto de QM y también es cierto para estados coherentes$|p,x\rangle$en un oscilador armónico.

Creo que la ecuación anterior es correcta debido a su simetría. Sin embargo, no he encontrado una manera de probarlo y aquí hay un contraargumento.

$$\begin{align} D(a-b) \sim \langle a|b \rangle &\sim \langle a|\int dx |x\rangle\langle x| b \rangle \\ &\sim \int dx D(a-x)D(x-b), \end{align}$$ que no es el caso del campo masivo en 1+1. (Dado esto, uno puede tratar de reemplazar la ecuación con$\int dx dy A(x,y)|x\rangle\langle y|=I$para algunos no diagnósticos$A$, sin embargo, no tengo idea de por qué esto es necesario y no tengo una construcción explícita).

A pesar de eso, si asumimos que la identidad anterior (1) es correcta, la constante se determina calculando

$$\begin{align}c &=\langle x=0, t=0|c \cdot I|x=0, t=0 \rangle \\ &= \int d^Dx \langle x=0, t=0|x,t=0\rangle \langle x,t=0|x=0, t=0 \rangle \\ &= \int d^Dx D(x) D(-x)\end{align}.$$

Aunque la identidad parece razonable, tiene una consecuencia no intuitiva:

$$|x=0,t=0\rangle = \int dx |x,t=0\rangle D(x),$$ cual es el problema que me preocupaba.

(Una posible ventaja de este punto de vista es que la dependencia lineal adicional de los vectores de estado explica la apariencia del límite de Bekenstein).