Promedio sobre la esfera de Bloch

En coordenadas esféricas, insertaste un factor de$\frac{1}{4\pi}\sin \theta$. Hiciste esto porque el elemento del área esférica es

$$\frac{1}{4\pi}\sin \theta d\theta d\phi$$ No solo$d\theta d\phi$. (En particular, este es el elemento de área que se obtiene al restringir la métrica euclidiana en el espacio tridimensional a la superficie de una esfera bidimensional). Del mismo modo, en su$\beta,\phi$parametrización, el elemento de área no es solo$\frac{1}{2\pi}d\beta d\phi$. Es más fácil encontrarlo considerando la transformación$\phi \rightarrow \phi, \theta \rightarrow \beta = \cos \frac{\theta}{2}$. Obtenemos $$d\phi \rightarrow d\phi$$ $$d\theta \rightarrow -\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2}d\beta$$ por lo que nuestro nuevo elemento de área es $$\frac{1}{4\pi}\sin \theta d\theta d\phi \rightarrow -\frac{1}{8\pi}\sin\cos^{-1}\beta d\beta d\phi$$ $$= -\frac{1}{8\pi}\sqrt{1 - \beta^2} d\beta d\phi$$ Este elemento de área está orientado, pero para su aplicación probablemente pueda simplemente ignorar el signo menos.

Tenga en cuenta que podría haber ido por el otro lado y, en su lugar, haber encontrado un elemento de área con$\theta,\phi$que coincide con su elemento de área "natural" para$\beta,\phi$. Sin embargo, la métrica de la esfera de Bloch es físicamente significativa, ya que es la única medida rotacionalmente invariable en un qubit. La otra métrica no tiene ningún significado físico, que yo sepa, por lo que probablemente no sea la que le interese.