La esfera Bloch es bellamente minimalista.

Convencionalmente, un qubit tiene cuatro parámetros reales;

$$|\psi\rangle=a e^{i\chi} |0\rangle + b e^{i\varphi} |1\rangle.$$ Sin embargo, un análisis rápido revela que la compensación a - vs - b solo tiene un grado de libertad debido a la normalización a ² + b ² = 1, y un análisis más cuidadoso revela que, en la forma en que construimos los valores esperados en QM, no puede observar χ o φ en sí mismos, sino solo la diferencia χ – φ , que es 2 π -periódica. (Esto se cubre más adelante en los comentarios a continuación, pero brevemente: QM solo predice promedios$\langle \psi|\hat A|\psi\rangle$y desplazar la fase general de una función de onda en algunos$|\psi\rangle\mapsto e^{i\theta}|\psi\rangle$por lo tanto, se cancela a sí mismo en cada predicción.)

Entonces, si piensa de la manera más abstracta sobre lo que necesita, simplemente dibuje una línea de 0 a 1 que represente la compensación a - vs - b : ¿cuánto es esto en uno de estos dos estados? Luego dibujas círculos a su alrededor: ¿cuánto es la diferencia de fase? Lo que impide que sea un cilindro es que la diferencia de fase deja de importar cuando a = 1 o b = 1, por lo que los círculos deben reducirse a puntos. Y listo , tienes algo que es topológicamente equivalente a una esfera. La esfera contiene toda la información que necesita para los experimentos, y nada más.

También es físico, una esfera real en el espacio 3D.

Este es el hecho más impactante. Dada solo la imagen simple de arriba, se le podría perdonar por pensar que todo esto era matemática inofensiva: ¡no! De hecho, el qubit por excelencia es un sistema de espín-½, con las matrices de Pauli indicando la forma en que el sistema gira alrededor de los ejes x , y o z . Este es un sistema donde identificamos

$$|0\rangle\leftrightarrow|\uparrow\rangle, \\ |1\rangle\leftrightarrow|\downarrow\rangle,$$ y la diferencia de fase entra eligiendo el eje + x a través de $$|{+x}\rangle = \sqrt{\frac 12} |0\rangle + \sqrt{\frac 12} |1\rangle.$$

Las direcciones ortogonales del espacio no son ortogonales de Hilbert en el tratamiento QM, porque no es así como funciona la física de este sistema. Los estados ortogonales de Hilbert son inconmensurables: si estás en este estado, definitivamente no estás en ese. Pero este sistema tiene un giro con una magnitud total definida de$\sqrt{\langle L^2 \rangle} = \sqrt{3/4} \hbar$, pero sólo$\hbar/2$de ella apunta en la dirección en la que está "más apuntada", lo que significa que debe distribuirse en algún tipo de "anillo" alrededor de esa dirección. En consecuencia, cuando mides que está en la dirección + z , resulta que también es una especie de mitad en la dirección + x , mitad en la dirección – x . (Aquí "más o menos" significa: es, si continúa con una medida x , que "colapsará" el sistema para apuntar → o ← con momento angular$\hbar/2$y luego estará en los "anillos" correspondientes alrededor del eje x ).

Coordenadas esféricas a partir de números complejos

Así que preguntemos "¿en qué dirección es el giro general-½$|\psi\rangle$arriba, ¿la mayoría girando hacia adentro? Esto requiere construir un observable.

Para dar un ejemplo observable, si la dirección + z es la más girada por un estado$|\uparrow\rangle$entonces el observable para$z$-spin es la matriz de Pauli

$$\sigma_z = |\uparrow\rangle\langle\uparrow| - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},$$ que es +1 en el estado en el que se encuentra, -1 en el estado perpendicular de Hilbert$\langle \downarrow | \uparrow \rangle = 0.$

Del mismo modo, si miras

$$\sigma_x = |\uparrow\rangle \langle \downarrow | + |\downarrow \rangle\langle \uparrow |=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},$$ verás que el$|{+x}\rangle$El estado definido anteriormente es un vector propio con valor propio +1 y, de manera similar, debe haber un$|{-x}\rangle \propto |\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle$satisfactorio$\langle {+x}|{-x}\rangle = 0,$y puedes recuperar$\sigma_x = |{+x}\rangle\langle{+x}| - |{-x}\rangle\langle{-x}|.$

Entonces, hagámoslo ahora en general. El estado ortogonal a$|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$no es demasiado difícil de calcular como$|\bar \psi\rangle = \beta^*|0\rangle - \alpha^* |1\rangle,$entonces el observable que es +1 en ese estado o -1 en el estado opuesto es:

$$\begin{align} |\psi\rangle\langle\psi| - |\bar\psi\rangle\langle\bar\psi| &= \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\beta^*\\-\alpha^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\beta & -\alpha\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}|\alpha|^2 - |\beta|^2 & 2 \alpha\beta^*\\ 2\alpha^*\beta & |\beta|^2 - |\alpha|^2\end{bmatrix} \end{align}$$ escribiendo esto como$v_i \sigma_i$donde el$\sigma_i$son las matrices de Pauli que obtenemos: $$v_z = |\alpha|^2 - |\beta|^2,\\ v_x + i v_y = 2 \alpha^* \beta.$$ Ahora aquí está la magia, permitamos la receta de Bloch de escribir $$\alpha=\cos\left(\frac\theta2\right),~~\beta=\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\varphi},$$ nos enteramos que estos son: $$\begin{align} v_z &= \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) &=&~ \cos \theta,\\ v_x &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\cos(\phi) &=&~ \sin \theta~\cos\phi, \\ v_y &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\sin(\phi) &=&~ \sin \theta~\sin\phi. \end{align}$$ Así que la receta de Bloch usa un$(\theta, \phi)$que son simplemente las coordenadas esféricas del punto en la esfera que tal$|\psi\rangle$es "más girando en la dirección de".

Entonces, en lugar de ser una visualización puramente teórica, podemos decir que el sistema de giro ½, el qubit prototípico, ¡en realidad gira en la dirección dada por las coordenadas de la esfera de Bloch! (Al menos, en la medida en que un sistema giratorio gira). Es despiadadamente físico : quieres alejarlo con la mano hacia una esquina matemática y dice: "no, para los sistemas reales estoy apuntando en esta dirección en 3D real ". espacio y tienes que prestarme atención.

Cómo responden estos a sus preguntas.

1. Sí, N y S son espacialmente paralelos pero en el espacio de Hilbert son ortogonales. Esta ortogonalidad de Hilbert significa que un sistema no puede ser al mismo tiempo de giro hacia arriba y de giro hacia abajo. Por el contrario, la falta de ortogonalidad de Hilbert entre, por ejemplo, las direcciones z y x significa que cuando mide el giro z todavía puede tener mediciones distintas de cero del giro en la dirección x , que es una característica clave de tales sistemas. De hecho, es un poco confuso tener dos nociones diferentes de "ortogonal", una para el espacio físico y otra para el espacio de Hilbert, pero se trata de tener dos espacios diferentes que estás viendo.

2. Una forma de ver por qué los ángulos son físicamente muy útiles se da arriba. Pero como se mencionó en la primera sección, también puede verlo como un ejercicio puramente matemático de tratar de describir el espacio de configuración con una esfera: entonces, naturalmente, tiene el ángulo polar como la diferencia de fase, que es$2\pi$-periódico, por lo que es una coordenada naturalmente 'azimutal'; por lo tanto, la forma en que la coordenada se encuentra a lo largo de 0/1 debe ser una coordenada 'polar' con 0 mapeando a$|0\rangle$y π mapeando a$|1\rangle$. La manera obvia de hacer esto es con$\cos(\theta/2)$mapeo de 1 a 0 a lo largo de este rango, como la amplitud para el$|0\rangle$estado; el hecho de que$\cos^2 + \sin^2 = 1$significa que el$|1\rangle$el estado debe recoger un$\sin(\theta/2)$amplitud para igualarlo.

A. Sistemas de dos estados

Sea un sistema de dos estados, siendo los estados independientes de las coordenadas espacio-temporales. En este caso el sistema tiene un nuevo grado de libertad . Un ejemplo clásico es una partícula con momento angular de espín$\:\frac12 \hbar\:$.

Deje que a los dos estados correspondan los estados básicos

$$\begin{equation} \vert u\rangle= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \equiv \text{up state} \,, \quad \vert d\rangle= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \equiv \text{down state} \tag{01}\label{01} \end{equation}$$ nombrado estado arriba y abajo respectivamente.

El estado de un sistema se expresa mediante el vector de estado

$$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi\vert u\rangle \boldsymbol{+} \eta\vert d\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi,\eta \in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta\vert^{2} =1 \tag{02}\label{02} \end{equation}$$ los numeros complejos$\:\xi,\eta\:$son las amplitudes de probabilidad y los reales no negativos$\:\vert\xi\vert^{2},\vert\eta\vert^{2}\:$las probabilidades de estar el sistema en estado$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$respectivamente.

El espacio de Hilbert de los estados del sistema es en muchos aspectos idéntico a (la esfera unitaria de) el espacio complejo$\:\mathbb{C}^{2}$.

Un observable del sistema estaría representado por un$\:2\times2\:$ matriz hermítica A de la forma

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} a_3 & a_1\!\boldsymbol{-}\!ia_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_1\!\boldsymbol{+}\!ia_2 & a_4\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad \text{with} \:\:\:\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right) \in \mathbb{R}^{4} \tag{03}\label{03} \end{equation}$$ por lo que el espacio lineal de la$\:2\times2\:$matrices hermíticas es en muchos aspectos idéntica a$\:\mathbb{R}^{4}$. De la base habitual de$\:\mathbb{R}^{4}\:$construimos una base para este espacio de matrices $$\begin{equation} E_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_4= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{04}\label{04} \end{equation}$$

Ahora bien, si los estados básicos$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$de ecuación$\eqref{01}$corresponden a los estados propios de los valores propios$\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$respectivamente de un observable, entonces este observable estaría representado por la matriz

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{05}\label{05} \end{equation}$$ no incluido en $\eqref{04}$. Pero en lugar de la base $\eqref{04}$podríamos hacer uso de las siguientes combinaciones lineales de ellos $$\begin{align} E'_1 \!=\!E_1\!=\!& \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad\qquad\quad \,E'_2 \!=\!E_2\!=\! \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \nonumber\\ E'_3\!=\!\left(E_3\!-\!E_4\right)\!=\!& \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad E'_4 \!=\!\left(E_3+E_4\right)\!=\! \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{06}\label{06} \end{align}$$ y cambio de símbolos y disposición

$$\begin{equation} I= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{07}\label{07} \end{equation}$$ dónde$\:\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\right)\:$las matrices de Pauli .

Ahora, los estados básicos$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$de ecuación$\eqref{01}$son estados propios de$\:\sigma_3\:$por lo que es necesario expresarlo con el subíndice$\:'3'\:$

$$\begin{equation} \vert u_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \,, \quad \vert d_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{08}\label{08} \end{equation}$$ Esto debe hacerse para las amplitudes de probabilidad$\:\xi,\eta\:$además $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_3,\eta_3\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1 \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ La razón de esto es que podemos usar como estados básicos del espacio de Hilbert igualmente bien los estados propios$\:\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle\:$de valores propios$\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$respectivamente de$\:\sigma_1\:$ $$\begin{equation} \vert u_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{+}\vert d_3\rangle\right) \,, \quad \vert d_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -1\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{-}\vert d_3\rangle\right) \tag{10}\label{10} \end{equation}$$ de modo que $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_1,\eta_1\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_1\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_1\vert^{2} =1 \tag{11}\label{11} \end{equation}$$ o lo pertinente a$\:\sigma_2\:$ $$\begin{equation} \vert u_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:i\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{+}i\vert d_3\rangle\right) \,, \quad \vert d_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -i\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{-}i\vert d_3\rangle\right) \tag{12}\label{12} \end{equation}$$ de modo que $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_2,\eta_2\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_2\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_2\vert^{2} =1 \tag{13}\label{13} \end{equation}$$ Los autoestados$\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle,\vert u_2\rangle,\vert d_2\rangle$se muestran esquemáticamente en la Figura-04.

Ahora,

$$\begin{align} \xi_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}\eta_3\right) \tag{14a}\label{14a}\\ \eta_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}\eta_3\right) \tag{14b}\label{14b} \end{align}$$ asi que $$\begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15a}\label{15a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15b}\label{15b} \end{align}$$ También $$\begin{align} \xi_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}i\eta_3\right) \tag{16a}\label{16a}\\ \eta_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}i\eta_3\right) \tag{16b}\label{16b} \end{align}$$ asi que $$\begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17a}\label{17a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17b}\label{17b} \end{align}$$ en ecuaciones $\eqref{15a}$, $\eqref{15b}$, $\eqref{17a}$, $\eqref{17b}$por$\:z^{\boldsymbol{*}}\:$denotamos el complejo conjugado del número complejo$\:z\:$y por$\:\mathrm{Re}\left(z\right),\mathrm{Im}\left(z\right)\:$las partes real e imaginaria de$\:z$.

Ya que$\:\vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1\:$configuramos (ver Figura-01)

$$\begin{align} \xi_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3} \:\:,\qquad 0\le\omega_3\le\frac{\pi}{2} \tag{18a}\label{18a}\\ \eta_3 & =\sin\omega_3\cdot e^{i\beta_3} \tag{18b}\label{18b}\\ \theta_3 & =2\omega_3=\text{polar angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\theta_3\le \pi \tag{18c}\label{18c} \end{align}$$ asi que $$\begin{align} \xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3}\sin\omega_3\cdot e^{\boldsymbol{-}i\beta_3}=\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot e^{\boldsymbol{-}i\left(\beta_3 \boldsymbol{-}\alpha_3\right)} =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3} \tag{19a}\label{19a}\\ \phi_3 & = \beta_3\boldsymbol{-}\alpha_3 =\text{azimuthal angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\phi_3\le 2\pi \tag{19b}\label{19b} \end{align}$$ Bajo estas definiciones $$\begin{align} \mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cos\phi_3=\rho_3\cos\phi_3 \tag{20a}\label{20a}\\ \mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\boldsymbol{-}\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\sin\phi_3=\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3 \tag{20b}\label{20b}\\ \rho_3 & =\vert\xi_3\vert \cdot\vert\eta_3\vert =\cos\omega_3\sin\omega_3 =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3 \tag{20c}\label{20c} \end{align}$$ y ecuaciones $\eqref{15a}$, $\eqref{15b}$, $\eqref{17a}$, $\eqref{17b}$producir las siguientes probabilidades $$\begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21a}\label{21a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21b}\label{21b} \end{align}$$ $$\begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22a}\label{22a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22b}\label{22b} \end{align}$$

Nótese que el estado$\vert\psi\rangle$de ecuación$\eqref{09}$podría expresarse como

$$\begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}e^{i\alpha_3}\left[\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \right] \tag{23}\label{23} \end{equation}$$ o ignorando el factor de fase$e^{i\alpha_3}$ $$\begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \tag{24}\label{24} \end{equation}$$

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B. En Esfera - En Bola

En la Figura-01 vemos los detalles de las definiciones$\eqref{18a}$,$\eqref{18b}$y$\eqref{18c}$. Esta es una vista plana desde un punto en el plano del círculo.$\:\rm{K_3}\Xi$en la Figura-03. Tenga en cuenta que esta Figura-01 es válida si todos los subíndices$\:'3'\:$será reemplazado por$\:'1'\:$o$\:'2'$. La definición y el significado de varios puntos se darán a continuación.

En la Figura-02 vemos la geometría de las ecuaciones$\eqref{21a}$,$\eqref{21b}$y$\eqref{22a}$,$\eqref{22b}$. Esta es una vista plana desde un punto sobre los positivos de la$\:x_3-$eje.

Vea una vista en 3D de la Figura-03 aquí

En la Figura-03 tenemos una esfera de diámetro 1 en un espacio tridimensional$\:\mathbb{R}^{3}\:$no idéntico al espacio físico. En la esfera un punto$\:\Xi\:$representa un estado del sistema

$$\begin{equation} \psi =\xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \tag{25}\label{25} \end{equation}$$ Ahora para$\:\jmath=1,2,3\:$ $$\begin{align} \rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:+1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.01}\label{26.01}\\ \rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:-1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.02}\label{26.02}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}} & = projection\:\:of\:\:the\:\:state\:\:point\:\:\Xi\:\:on\:\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.03}\label{26.03}\\ \Xi\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.04}\label{26.04}\\ \Xi\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.05}\label{26.05}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.06}\label{26.06}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.07}\label{26.07}\\ \theta_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= polar\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.08}\label{26.08}\\ \phi_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= azimuthal\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.09}\label{26.09}\\ \omega_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm B_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm K_{\boldsymbol{\jmath}})= half\:the\:polar\: angle \: \theta_{\boldsymbol{\jmath}} \tag{26.10}\label{26.10}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\Xi & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert\cdot\vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert= \rho_{\boldsymbol{\jmath}}= radius\: of \: the\:circle,\:intersection\: of\:the\: sphere \nonumber\\ & \hphantom{=}\:\:with \:the\: plane\:through\:point\:\Xi\:normal\:to\:the\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.11}\label{26.11} \end{align}$$

Puede asociar puntos en la superficie de una esfera unitaria con estados de espín puro de la siguiente manera simple.

Un punto de la esfera$(n_x,n_y,n_z)$está asociado con un vector propio del operador$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$con valor propio positivo y viceversa. Esto incluye todos los estados de espín de una sola partícula de espín 1/2.

Y esto no es aleatorio ni de visualización ni de matemáticas. Si tiene un dispositivo Stern-Gerlach con una falta de homogeneidad del campo magnético que apunta en la dirección$(n_x,n_y,n_z)$entonces desviará consistentemente ese rayo en una dirección particular cuando tenga ese estado que es propio de$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$

¿Pero no es esto muy confuso? Si se eligen los polos norte y sur, entonces ambos estados están en la misma línea y ya no son ortogonales,

No es confuso en lo más mínimo. La geometría está relacionada con la orientación del dispositivo físico en el laboratorio al que su estado le da resultados confiables. El dispositivo de orientación opuesta también proporciona resultados fiables. Esto es común para los estados ortogonales que los estados ortogonales pueden ser propios del mismo operador.

Entonces, diferentes puntos de la esfera de Bloch identifican diferentes orientaciones que dan el resultado "arriba" para diferentes estados. No confunda la orientación del dispositivo de medición en el espacio tridimensional con la geometría de los estados en el espacio de espín.

Entonces, ¿cómo se puede elegir un punto arbitrario?$p$en la superficie de la esfera y posiblemente descomponerla en términos de$0,1$estados para encontrar$a$y$b$?

Es al revés. ¿Cómo decidiste llamar 0 a un estado y 1 a otro? Eligió una orientación aleatoria y la llamó z y orientó su dispositivo para que el punto de falta de homogeneidad del campo magnético fuera de esa manera. Eso te dio un altibajo.

Pero ahora podemos especificar cualquier estado de giro. Tu mismo tienes un punto arbitrario$(n_x,n_y,n_z)$luego encuentre el vector propio de$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$con valor propio positivo. Llámalo$\left|s\right\rangle,$después

$$\left|s\right\rangle=\langle 0\left|s\right\rangle\left|0\right\rangle+\langle 1\left|s\right\rangle\left|1\right\rangle$$ así que ahí está tu $a$y $b$excepto que no conoce la fase y la magnitud generales, pero un estado de giro de una sola partícula no tiene uno de esos.

¿Significa esto que uno no debe considerar la esfera de Bloch como una base válida para nuestro sistema y que es solo una ayuda de visualización?

No, significa que no debes confundir la geometría del laboratorio con la geometría del espacio de Hilbert. La física es una ciencia experimental, por lo que definitivamente están relacionadas, pero no son lo mismo.

Si desea proyectar un vector en un espacio propio, no proyecte las etiquetas entre sí. Puede tener un estado de giro y otro estado de giro y cuando coloca uno a través de un dispositivo Stern-Gerlach orientado para el otro, los grados de libertad espacial se dividen y separan en uno que está arriba en esa dirección y otro que está espacialmente abajo de esa dirección y el estado de giro literalmente cambia para apuntar hacia arriba en el haz que subió espacialmente y para apuntar hacia abajo en el haz que bajó. Así que el espín de una partícula se ha entrelazado con su propia posición.

El tamaño de la proyección de Hilbert le indica el tamaño de las partes espaciales que se desviaron y se dividieron. Pero tampoco es necesario que recuerdes literalmente reglas como esa. Si escribe la ecuación de Schrödinger para el dispositivo Stern-Gerlach, el haz se divide y se separa en partes del tamaño correcto y los espines se alinean en las dos polarizaciones y sucede sin que usted le diga que lo haga.

Entonces, el estado de giro es claro. Te está diciendo la dirección en la que irá de manera confiable si le das una oportunidad. Y si lo coloca en un Stern-Gerlach con una orientación diferente, se verá obligado a ir en una de las dos direcciones permitidas por esa orientación y se dividirá e irá en ambas. Para obtener los tamaños de cada parte, puede desarrollar la ecuación de Schrödinger o calcular los vectores propios del operador$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$y puntee con el vector propio de valor propio positivo ortogonal al otro vector.

Y sí, hay maneras más fáciles de hacer esto y más puedes sacar de ello. Pero espero que veas la otra geometría.

¿Podría mostrar cómo se obtiene entonces el$cos \theta/2$y$e^{i\phi}$¿términos?

Estaba usando los operadores de giro de Pauli, si desea elegir una base, puede escribirlos como matrices (un operador es una función en un espacio vectorial, una matriz reemplaza a un operador después de seleccionar una base; el operador existe y es lo mismo independientemente de la base que pueda o no seleccionar más adelante).

$$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z=\left(\begin{matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x+in_y&-n_z \end{matrix}\right).$$

Y el vector propio con valor propio positivo es$\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right),$a no ser que$n_z=1$entonces es$\left(\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right).$Tratemos el caso de$n_z=1$primero, en ese caso$a=1$y$b=0$y$\theta=0$asi que$a=\cos(\theta/2)$,$b=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$todo sale bien

Si desea escribir el vector propio como un vector unitario, obtiene$\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}}\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right).$Si desea ajustar la fase para que la primera coordenada sea real y positiva, obtendrá$\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\left(\begin{matrix}n_x^2+n_y^2\\ (n_x+in_y)(1-n_z) \end{matrix}\right).$

El resto es trigometría, por ejemplo$\frac{n_x+in_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2 }}=e^{i\phi}.$Así que solo tenemos que demostrar que$\cos(\theta/2)=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}$y eso$\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-n_z}{2}}.$Esta última es una identidad trigonométrica.$\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}.$

el primero es

$$\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2-n_z^2}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1-n_z^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{(1-n_z)(1+n_z)}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1+n_z}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}=\cos(\theta/2).$$

Un mero comentario extendido que simplifica la excelente respuesta de @Timaeus a una forma más memorable.

El vector de estado

$$|\psi\rangle= \begin{pmatrix} \cos \theta/2 \\ e^{i\phi} \sin \theta/2 \end{pmatrix}$$ define una matriz de densidad de estado puro a través de su operador de proyección, $$\bbox[yellow]{ |\psi\rangle \langle \psi | = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta/2 & \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{-i\phi} \\ \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{i\phi} & \sin^2 \theta/2 \end{pmatrix}=\rho }~.$$ Nótese la invariancia manifiesta bajo el cambio total de fase de$|\psi\rangle$.

La expresión de los principios generales de esta matriz de densidad hermítica idempotente es también, evidentemente,

$$\rho=\frac{1}{2}(1\!\! 1 + \hat n \cdot \vec \sigma) ,$$ con$\hat n = (\sin \theta \cos \phi, \; \sin \theta \sin \phi, \; \cos \theta)^T.$

Eso es el$\hat z$el eje gira hacia el$\hat n$eje por ángulos de rotación completos (juntos), especificando una expresión de operador de medio ángulo (espinor, fundamental).

Piensa en el espín de fotones

Pensar en este caso más concreto me ayudó a tener algunas imágenes útiles en mi cabeza. Incluso hay un conocido análogo más orientado a la óptica que vale la pena tener en cuenta: la Esfera de Poincaré . .

El espín del fotón es un sistema cuántico de dos estados , que como menciona Frobenius , es lo que modela la esfera de Bloch.

El giro de fotones también es fácil de entender/visualizar/manipular experimentalmente.

Filtros polarizadores físicos

Primero pensemos en lo más concreto posible: los filtros polarizadores.

Hay dos tipos de filtros polarizadores en los que podría pensar:

• polarizador lineal, en cualquier ángulo entre -90 y 90.

  Por ejemplo, aquí hay uno a 90 grados:

  

  y aquí hay uno a 45 grados:

  

  y aquí hay uno a 0 grados:

  

  Fuente

  Wikipedia describe algunas formas de crear dichos filtros, y las imágenes de arriba son filtros Polariod , que se utilizan en gafas de sol y fotografía y, por lo tanto, están fácilmente disponibles.

  Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, las orientaciones de 90 y 0 grados hacen la misma medida: la única diferencia es que una deja pasar el fotón pero la otra lo bloquea. Pero podemos usar ambos por igual para determinar el nivel de polarización vertical lineal del fotón: solo hay que tomar el complemento del valor.

  Y como toda medida corresponde a una matriz hermitiana , podemos representar tanto el 0 como el 90 con una única matriz:

  $$M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

  Y la matriz para 45 grados es:

  $$M_+ = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

• polarizador circular, que como explica Wikipedia se suele hacer con una placa de cuarto de onda + un polarizador lineal:

  

  fuente _

  Su matriz correspondiente es:

  $$M_i = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Las matrices anteriores son las llamadas matrices de Pauli .

Algunos vectores de estado interesantes

Ahora démosle nombres a 6 polos que representan 6 posibles estados de fotones interesantes en la esfera de Bloch, y tratemos de entender cómo interactúan con los filtros.

fuente _

$$\begin{alignat*}{4} &\vert 0\rangle &&= &&\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \text{linear 90°} \\ &\vert 1\rangle &&= &&\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 0°} \\ &\vert +\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 45°} \\ &\vert -\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} &&= \text{linear -45°} \\ &\vert i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} &&= \text{circular clockwise} \\ &\vert -i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix} &&= \text{circular counter-clockwise} \\ \end{alignat*}$$

Lo primero que notamos es que los siguientes pares son todos bases:

• $\vert 0\rangle$y$\vert 1\rangle$
• $\vert +\rangle$y$\vert -\rangle$
• $\vert i\rangle$y$\vert -i\rangle$

Por ejemplo, podríamos representar:

$$\begin{alignat*}{3} &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&+ \vert -\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&- \vert -\rangle) \\ &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert i\rangle &&-i \vert -i\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle &&+ i\vert -i\rangle) \end{alignat*}$$

Y luego, también observamos que:

• $\vert 0\rangle$y$\vert 1\rangle$son vectores propios de$M_0$
• $\vert +\rangle$y$\vert -\rangle$son vectores propios de$M_+$
• $\vert i\rangle$y$\vert -i\rangle$son vectores propios de$M_i$

Si recordamos que el resultado de una medida en mecánica cuántica es el vector propio de un valor propio, con probabilidad proporcional a la proyección, obtenemos las siguientes probabilidades de muestra para estos experimentos:

• $\vert 0\rangle$estado en:

  • polarizador lineal 90°: 100% pasa

  • polarizador lineal 0°: 0% pasa

  • polarizador lineal 45°: 45% pasa, porque:

    $$\vert 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle + \vert -\rangle)$$

  • polarizador lineal -45°: 45% pasa

  • polarizadores circulares: 45% pasa. Esto se debe a que un estado lineal 0 se puede descomponer en dos polarizaciones circulares:

    $$\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle +i \vert -i\rangle)$$

• $\vert 1\rangle$:
  • lineal 90°: 0% de paso
  • 0° lineal: paso del 100 %
  • lineal 45°: 45% pasa
  • lineal -45°: 45% pasa
  • circular: 45% aprobado
• $\vert +\rangle$:
  • lineal 90°: 45% pasa
  • 0° lineal: 45% pasa
  • lineal 45°: 100% de paso
  • lineal -45°: 0% pasa
  • polarizadores circulares: 45% pasa
• $\vert i\rangle$:
  • lineal 90°: 45% pasa
  • 0° lineal: 45% pasa
  • lineal 45°: 45% pasa
  • lineal -45°: 45% pasa
  • circular en el sentido de las agujas del reloj: 100% aprobado
  • circular en sentido contrario a las agujas del reloj: 0% de aprobación

Fase relativa

Una intuición semiclásica importante para recordar es que:

polarización circular == dos polarizaciones lineales ortogonales desfasadas 90 grados:

fuente _

Así por ejemplo en:

$$\vert i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

tenemos una fase relativa de 90 grados debido a la$i$diferencia de fase relativa entre$\vert 0\rangle$y$\frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$.

Pero en la diagonal, están en fase con respecto a$\vert 0\rangle$y$\vert 1\rangle$:

$$\vert +\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

entonces la fase relativa es 0 para ese.

Caminar alrededor de la esfera

Una forma común de representar un estado en la esfera de Bloch es dar solo los dos$\theta$y$\phi$ángulos como se muestra a continuación:

Fuente _

Dado que una esfera no es euclidiana, una buena manera de visualizarla es recorrer algunos caminos fáciles de entender a su alrededor. En la siguiente imagen hacemos dos caminos:

• comienza en 0, pasa por +, 1, - y regresa a 0
• comienza en 0, pasa por i, 1, -i y regresa a 0

Fuente _

Caminar de + a i, -, -i y de regreso a + se deja como ejercicio: el círculo se convertiría en un eclipse oblicuo, y se adelgazaría más y más en una línea de 45 grados.

Esto conduce a una interpretación clara de los ángulos:

• $\theta$: cuanto más grande es, más probable$\vert 1\rangle$se vuelve comparado con$\vert 0\rangle$
• $\phi$: la fase relativa entre$\vert 0\rangle$y$\vert 1\rangle$. Esta fase relativa no puede ser detectada por un polarizador vertical u horizontal.

¿Cómo podemos bajar de 4 números reales a solo 2 en el estado?

En la esfera de Bloch, podemos representar el estado con solo 2 parámetros reales: los ángulos$\theta$y$\phi$

Pero en los vectores de estado completo más explícitos, parece haber 2 números complejos y, por lo tanto, 4 números reales:

$$\begin{alignat*}{4} &\begin{bmatrix}a + ib\\c + id\end{bmatrix} \\ \end{alignat*}$$

Por qué se debe eliminar uno de los números es fácil: la probabilidad total tiene que ser 1, y así:

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$$

entonces en ese punto ya estamos restringidos a 3 esferas .

El segundo es más interesante: podemos eliminar otro parámetro porque la fase global del estado no puede ser detectada por ningún experimento. y, por lo tanto, somos libres de elegirlo arbitrariamente.

Una fase mundial$\phi$es un número complejo. El módulo de ese número debe ser 1 para mantener la probabilidad total. Debido a esto, una forma natural de escribir una fase global es como:

&&e^{i\phi}$$

lo que satisface automáticamente la propiedad anterior, pero aún permite cualquier valor posible.

Los experimentos no pueden detectar cambios de fase globales porque los resultados de la medición:

$$k_0 \vert 0\rangle + k_1 \vert 0\rangle$$

en cualquiera de los filtros es el mismo que el de medir:

$$\text{phase} \times k_0 \vert 0\rangle + \text{phase} \times k_1 \vert 0\rangle$$

porque$|\text{phase}| = 1$.

Por lo tanto, una elección natural es elegir una fase global que rote el estado de tal manera que el multiplicador de$\vert 0\rangle$se convierte en un número real, es decir, ajuste$b = 0$.

Entonces, por ejemplo, al multiplicar por un número imaginario, podríamos mapear estados más generales en otros más restringidos, como

$$\begin{alignat*}{2} &\begin{bmatrix}i\\0\end{bmatrix} &&\times -i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-i\\0\end{bmatrix} &&\times i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix} &&\times -1 &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}i\\i\end{bmatrix} &&\times -i &&= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \vert +\rangle \\ \end{alignat*}$$

¿Por qué hay exactamente tres matrices de Pauli?

Creo que hay razones matemáticas profundas y claras que explican esto, vinculadas a que son la base del espacio de la matriz hermítica 2x2, como se menciona en: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 y https://en .wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states y es el quid de la cuestión de por qué se usa la esfera de Bloch, pero no lo he entendido completamente.

Pero en términos más prácticos: los tres dispositivos de medición que describimos son las únicas tres posibilidades (hasta rotaciones globales) tales que después de pasar por uno, pierdes toda la información sobre los otros dos (50% de probabilidad en los otros dos experimentos).

Por lo tanto, son ortogonales en cierto sentido, y maximales ya que no hay otro experimento que podamos agregar a ese conjunto de experimentos tal que se cumpla esta propiedad.

Juega con Quirk

https://algassert.com/quirk

Esta es otra sugerencia que vale la pena. Haga clic en esas imágenes hasta que todo tenga sentido.

Otros sistemas físicos

Básicamente, cada tipo de computadora cuántica proporciona un ejemplo físico de cómo se ven las cosas físicas en una esfera de Bloch. Sería bueno entender los diferentes tipos con más detalle.

La mayoría de ellos parecen estar en el estado 0 en el estado de menor energía, 1 en el primer nivel de energía y cualquier cosa en el ecuador es una superposición. TODO interpretación física/control de fase.