Caracterización del espacio de Bloch generalizado en coordenadas esféricas

Question

Caracterización del espacio de Bloch generalizado en coordenadas esféricas

Física
bloque-esfera
estados-cuánticos
computadora cuántica
mecánica cuántica
información cuántica

mavzolej

Estoy tan confundido con la siguiente definición en la "Corrección de errores cuánticos" de Lidar y Brun que ni siquiera estoy seguro de cómo formular la pregunta correctamente.

Dejar $\mathbf n$ denote un vector unitario, es decir, $\mathbf n\in \mathbb R^{d^2-1}$ y $\sum_{i=1}^{d^2-1} n_i^2 = 1$ y definir $F_\mathbf n = \sum_{\mu=1}^{d^2-1} n_\mu F_\mu.$ Sea el valor propio mínimo de cada $F_\mathbf n$ ser denotado $m(F_\mathbf n)$ . El "espacio Bloch" $B(\mathbb R^{d^2-1})$ es el conjunto de todos los vectores de Bloch y es un conjunto convexo cerrado, ya que el conjunto de estados $\mathscr S(\mathscr H)$ es cerrado y convexo, y el mapa $\mathbf b\mapsto \rho$ es homeomorfo lineal. El espacio de Bloch se caracteriza en las "coordenadas esféricas" determinadas por $\{F_\mathbf n\}$ como
$\begin{matrix} (1.11) & B (R^{d^{2} - 1}) = {b = r norte \in R^{d^{2} - 1} : r \leq \frac{1}{| metro (F_{norte}) |}} . \end{matrix}$ $B(\mathbb R^{d^2-1}) = \left\{ \mathbf b = r\mathbf n \in \mathbb R^{d^2-1} : r\leq \frac{1}{|m(F_\mathbf n)|} \right\}. \tag{1.11}$ Este resultado es útil para la visualización de estados cuánticos. Por ejemplo, para dos qubits, el espacio de Bloch viene dado por la ecuación. (1.11) con $d=4$ , que corresponde a un determinado conjunto convexo de 15 dimensiones. El espacio de Bloch de un qubit se define con el $\{F_\mu\}$ siendo las matrices de Pauli; es una esfera simple, ya que sucede que para un qubit los valores propios mínimos $m(F_\mathbf n)$ son $1$ para todos $F_\mathbf n$ .

Aquí $F_\mu$ , es una base de operadores hermitianos normalizados como $\mathrm{Tr}(F_\mu F_\nu)=d\delta_{\mu\nu}$ .

¿Cuál es el razonamiento detrás de la $r\leq\dfrac{1}{|m(F_{\bf{n}})|}$ ¿requisito? ¿Por qué da la frontera correspondiente a los estados puros?

¿Por qué para un qubit "el mínimo $m$ es $1$ "? Se siente como si fuera $-1$ (¡los valores propios de las matrices de Pauli!).

Cualquier explicación sería muy apreciada.

Emilio Pisanty

Las capturas de pantalla de texto no tienen cabida en este sitio , sin importar cuán complejas sean las matemáticas.

Respuestas (1)

Caracterización del espacio de Bloch generalizado en coordenadas esféricas

Las capturas de pantalla de texto no tienen cabida en este sitio , sin importar cuán complejas sean las matemáticas.

glS · Answer 1

$\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1}}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$ Dejar $f:\mathbb R^{d^2-1}\to\mathscr B(\mathscr H)$ ser el mapeo de puntos en $\mathbb R^{d^2-1}$ a operadores acotados en el espacio de Hilbert $\mathscr H$ , definido por

F (b) \equiv \frac{1}{d} (I + \sum_{m = 1}^{d^{2} - 1} b_{m} F_{m}) .

$f(\bs b)\equiv \frac{1}{d}\left(I+\sum_{\mu=1}^{d^2-1}b_\mu F_\mu\right).$ Se comprueba fácilmente que, para todos

b \in R^{d^{2} - 1}

$\bs b\in\mathbb R^{d^2-1}$ ,

f (b)

$\,f(\bs b)$ es normalizado y hermitiano. Sin embargo, no siempre es el caso que

f (b) \geq 0

$f(\bs b)\ge 0$ , Lo que significa que

f (b)

$f(\bs b)$ no siempre representa un estado.

Defina la "esfera de Bloch generalizada" (que por cierto no es una esfera) como el conjunto de $\bs b\in\mathbb R^{d^2-1}$ tal que $f(\bs b)$ es un estado, es decir,

B (R^{d^{2} - 1}) \equiv {b \in R^{d^{2} - 1} tal que F (b) \geq 0} .

$B(\mathbb R^{d^2-1})\equiv\left\{ \bs b\in\mathbb R^{d^2-1}\text{ such that }f(\bs b)\ge0\right\}.$ Ahora el problema es averiguar para qué

b

$\bs b$ tenemos

d F (b) = I + \sum_{m = 1}^{d^{2} - 1} b_{m} F_{m} \geq 0.

$d \,\,f(\bs b)=I+\sum_{\mu=1}^{d^2-1}b_\mu F_\mu\ge0.$ Suponer

b

$\bs b$ apunta en alguna dirección

\hat{n}

$\hat{\bs n}$ ,

‖ \hat{n} ‖ = 1

$\|\hat{\bs n}\|=1$ . Escribir

‖ b ‖ = r

$\|\bs b\|=r$ , de modo que

b = r \hat{n}

$\bs b=r\hat{\bs n}$ . La condición entonces dice

\begin{matrix} (A) & d F (b) = I + b \cdot F = I + r \hat{norte} \cdot F \geq 0, \end{matrix}

$d\,\,f(\bs b)=I + \bs b \cdot \bs F = I + r \,\hat{\bs n}\cdot\bs F \ge 0,\tag{A}$ dónde

F = (F_{1}, . . ., F_{d^{2} - 1})

$\bs F=(F_1,...,F_{d^2-1})$ . Tenga en cuenta que

F_{\hat{n}} \equiv \hat{n} \cdot F

$\bs F_{\hat{\bs n}}\equiv \hat{\bs n}\cdot\bs F$ es de nuevo sin rastro y hermitiano, lo que significa que

F_{\hat{n}}

$\bs F_{\hat{\bs n}}$ puede ser unitariamente diagonalizado, y por lo tanto lo mismo debe ser válido para

I + r F_{\hat{n}}

$I + r \,\bs F_{\hat{\bs n}}$ .

Considere (A) en su base propia. La positividad de un operador hermitiano es equivalente a que todos sus valores propios sean positivos. Denotemos con $\lambda_i$ los valores propios de $\bs F_{\hat{\bs n}}$ . Entonces vemos que (A) es equivalente al siguiente conjunto de $d^2-1$ desigualdades:

1 + r λ_{i} \geq 0, para todos i = 1, . . ., d^{2} - 1.

$1+r \lambda_i \ge 0,\text{ for all }i=1,...,d^2-1.$ Tenga en cuenta que si una matriz no tiene trazas y es hermítica, entonces debe tener valores propios negativos, es decir,

λ_{i} < 0

$\lambda_i<0$ para algunos

i

$i$ . Si

λ_{i} \geq 0

$\lambda_i\ge0$ la desigualdad se satisface trivialmente, así que supongamos

λ_{i} < 0

$\lambda_i<0$ . En este caso queremos

r \leq 1 / (- λ_{i})

$r\le1/(-\lambda_i)$ para todos

i

$i$ , eso es

r \leq \frac{1}{| min_{i} λ_{i} |} .

$r\le\frac{1}{\lvert\min_i\lambda_i\rvert}.$

Otro punto interesante es que la representación de Bloch de qudits, por $d>2$ , no es , en general, una simple esfera.

Para ver esto, fijemos como base para los operadores hermitianos sin rastro las matrices $A^{(ij)}$ y $B^{(ij)}$ , $i<j$ , definido como cero en todas partes excepto en los bloques bidimensionales generados por los índices $i$ y $j$ , e igual en estos bloques a las matrices de Pauli $\sigma_x$ y $\sigma_y$ , respectivamente. En otras palabras, $A^{(ij)}$ y $B^{(ij)}$ se definen por componentes como

A^{(i j)} = \sqrt{d / 2} (| i ⟩ ⟨ j | + | j ⟩ ⟨ i |), B^{(i j)} = \sqrt{d / 2} i (| i ⟩ ⟨ j | - | j ⟩ ⟨ i |)

$A^{(ij)}=\sqrt{d/2}(\lvert i\rangle\!\langle j\rvert+\lvert j\rangle\!\langle i\rvert), \qquad B^{(ij)}=\sqrt{d/2}i(\lvert i\rangle\!\langle j\rvert-\lvert j\rangle\!\langle i\rvert)$ Definamos también

C^{(ℓ)}

$C^{(\ell)}$ ,

ℓ = 1, . . ., d - 1

$\ell=1,...,d-1$ , como las matrices diagonales

C^{(ℓ)} \equiv \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{ℓ (ℓ + 1)}} (\sum_{k = 1}^{ℓ} | k ⟩ ⟨ k | - ℓ | ℓ + 1 ⟩ ⟨ ℓ + 1 |)

$C^{(\ell)}\equiv\frac{\sqrt d}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}\left(\sum_{k=1}^\ell\lvert k\rangle\!\langle k\rvert-\ell\lvert \ell+1\rangle\!\langle \ell+1\rvert\right)$

Como se puede verificar fácilmente, todas estas matrices son mutuamente ortogonales y normalizadas como $\operatorname{Tr}(A^2)=d$ , para satisfacer los supuestos de la primera parte de la respuesta.

El valor propio más pequeño de $A^{(jk)}, B^{(jk)}$ es $-\sqrt{d/2}$ , mientras que el valor propio más pequeño de $C^{(\ell)}$ es $-\ell\sqrt{\frac{d}{\ell(\ell+1)}}$ , por lo que claramente la distancia entre el límite del espacio de estado y el centro no es constante.

Con respecto a su segunda pregunta, supongo que los autores simplemente querían decir que el valor absoluto del valor propio mínimo es $1$ .

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mavzolej

Emilio Pisanty

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glS

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