Definición de puntos en la esfera de Bloch

La bola unitaria tiene una propiedad muy buena para representar los estados de un qubit. Si realiza una medición alrededor del$z$eje que informa$1$si el estado es girar y$-1$si el estado es spin down, entonces el valor esperado de esta medida es precisamente su$z$coordinar.

Esto significa que el estado puro$\alpha |0 \rangle + \beta| 1 \rangle$debe corresponder a un punto de la esfera con$z$coordinar$|\alpha|^2 - |\beta|^2$.

Para un punto de la esfera el$z$la coordenada es precisamente$\cos(\theta)$, por lo que debemos tener$|\alpha|^2 - |\beta|^2 = \cos(\theta)$y$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$, y por lo tanto

$$|\alpha|^2 = \frac{1 + \cos(\theta)}{2}$$ $$|\beta|^2 = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}$$

que reconocemos como$|\alpha| = |\cos(\theta / 2)|$y$|\beta| = |\sin(\theta / 2)|$.

(lo mismo es cierto para el$x$y$y$coordenada también, y se puede hacer una declaración similar sobre cualquier eje)

la razon de la$\theta/2$es porque, cuando llegas a un estado por la matriz de rotación$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$, la posición del estado en la esfera de bloques se mueve por$2 \theta$radianes en lugar de solo$\theta$radianes Entonces, si desea una rotación que mueva la posición solo$\theta$radianes, debes rotar por$\theta/2$radianes

En última instancia, esto se reduce al hecho de que$|0\rangle$y$|1\rangle$son estados perpendiculares. Hablando geométricamente, eso significa que deben estar separados por 90 grados; en ángulo recto entre sí. Para que estuvieran separados 180 grados, para que estuvieran arriba contra abajo en lugar de X contra Y, tuvimos que duplicar todos los ángulos.

(La razón por la que queremos que estén separados por 180 grados, en lugar de 90, es que libera un eje y luego hace una analogía tan agradable con las rotaciones en el espacio tridimensional. Cada operación cuántica de un solo qubit corresponde a una rotación alrededor de la esfera de Bloch veces un factor de fase global. Si nos hubiéramos quedado con la cosa de 90 grados de separación, habríamos necesitado una cuarta dimensión para hacer que la analogía de la rotación funcionara).

La razón por la que se descuida la fase irrelevante es porque no tiene significado físico. Uno no puede medirlo y no tiene ningún efecto en la forma en que funcionan las cosas. Entonces, si descuidamos esta fase, la representación alternativa que das tiene el problema de que los puntos de la esfera de Bloch no son únicos.

También hay otras razones por las que las representaciones de la esfera de Bloch son como son. Una razón que se me viene a la mente es que los espinores se pueden combinar en vectores. Esta es una propiedad de las representaciones irreducibles del grupo de Lie [SU(2) en este caso particular].

Considere el espinor

$$\eta = [\exp(i\phi/2)\cos(\theta/2), \exp(-i\phi/2)\sin(\theta/2)] .$$ Se puede demostrar que el vector formado contrayendo estos espinores con la ayuda de las matrices de Pauli da un vector correctamente parametrizado $$\mathbf{v} = [\eta\sigma_x\eta^{\dagger}, \eta\sigma_y\eta^{\dagger}, \eta\sigma_z\eta^{\dagger}] = [\cos(\phi)\sin(\theta),\sin(\phi)\sin(\theta),\cos(\theta)] .$$ si uno usa $\theta$en lugar de $\theta/2$en los argumentos del espinor, entonces esto no funcionaría bien.