Matrices 2x2 que no son estados cuánticos válidos

Question

Matrices 2x2 que no son estados cuánticos válidos

Física
bloque-esfera
operador de densidad
mecánica cuántica
información cuántica

Jano

Dado un espacio de Hilbert bidimensional, los estados cuánticos se pueden expresar como $2\times 2$ matrices de densidad. En términos de las matrices de Pauli, o representación de Bloch, se pueden escribir como

ρ = \frac{1}{2} (I + \vec{r} \cdot \vec{σ})

$\begin{equation} \rho=\frac{1}{2}\left(\mathbb{I}+\vec{r}\cdot\vec{\sigma}\right) \end{equation}$ dónde

\vec{r}

$\vec{r}$ es el vector de Bloch en la esfera de Bloch y

| \vec{r} | \leq 1

$|\vec{r}|\leq1$ .

PREGUNTA 1: ¿Hay $2\times 2$ matrices que no son estados cuánticos válidos?

PREGUNTA 2: ¿Hay singulares $2\times 2$ matrices que son estados cuánticos válidos?

Respuestas (1)

Matrices 2x2 que no son estados cuánticos válidos

knzhou · Answer 1

Sí. No todo $2 \times 2$ las matrices tienen la traza 1, pero todas las matrices de densidad la tienen. También hay muchas otras propiedades especiales de las matrices de densidad, como ser hermíticas.
Sí. Por ejemplo, considere un estado puro $\rho = | \psi \rangle \langle \psi |$ . Esta es una matriz de rango 1, porque es solo una proyección en $|\psi \rangle$ , por lo que no es invertible.

¿Qué hay de los estados mixtos? ¿Hay singulares? $2\times 2$ matrices que son estados mixtos válidos?
@Janus. No hay estados mixtos singulares de 2 por 2, pero este es un caso especial para un sistema bidimensional. (Puede ver esto diagonalizando la matriz de densidad y observando que para un estado mixto, debe haber al menos dos valores propios distintos de cero).
@marzo Gracias. Entonces, digamos que tengo un aleatorio $2\times 2$ matriz definida positiva no singular con traza 1, ¿estoy seguro de que es un estado cuántico válido? Además, ¿estás diciendo que para los sistemas de dimensiones superiores, hay $n\times n$ matrices singulares con traza 1 que son estados cuánticos válidos?
@Janus. Sí a sus dos preguntas. Si quiere detalles, probablemente querrá hacer una nueva pregunta.

Matrices 2x2 que no son estados cuánticos válidos

Jano

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knzhou

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marzo

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