¿Cómo se representan las combinaciones lineales de estados qubit en la esfera de Bloch?

La esfera de Bloch no es un espacio vectorial. En particular, los "vectores"/flechas que dibuje en él no se pueden agregar como los vectores habituales.

La esfera de Bloch es lo que obtienes cuando tomas el espacio vectorial complejo bidimensional $\mathbb{C}^2$y pregunta qué obtienes cuando no haces distinción entre vectores que solo difieren por multiplicación con un escalar complejo. Esto se llama un espacio proyectivo de Hilbert .

Tenga en cuenta que$\hat{z}$y$-\hat{z}$difieren solo por la multiplicación por el escalar$-1$, por lo que se identificarían si los puntos de la esfera de Bloch siguieran siendo vectores en el espacio de Hilbert original. No lo son y los únicos puntos correspondientes a estados puros están realmente sobre la esfera , ni en su interior ni en su exterior.

Donde una combinación lineal de$\lvert 0\rangle$y$\lvert 1 \rangle$se sienta en la esfera de Bloch es exactamente lo que su fórmula para$\lvert \psi\rangle$te dice - la combinación lineal$\lvert \psi\rangle$se sienta en las coordenadas$(\phi,\theta)$en la esfera, donde esas son las coordenadas polares usuales en una esfera.

Escribiendo$\lvert 0\rangle = \hat{z}$y$\lvert 1\rangle = -\hat{z}$es muy confuso: la igualdad no es una igualdad como vectores , es solo una igualdad como puntos en la esfera . Puedes escribir esto mirando tu forma general para$\lvert \psi\rangle$y definiendo el mapa$\mathbb{C}P^2\to S^2, \lvert \psi\rangle\mapsto (\phi,\theta)$utilizando coordenadas polares para el$S^2$, luego incrustando el$S^2$en una$\mathbb{R}^3$y luego observar que los dos polos se asignan a la$\hat{z}$y$-\hat{z}$en el$\mathbb{R}^3$.

Creo que el problema en la imagen de wikipedia es afirmar$\hat z=\left|0\right>$y$-\hat z=\left|1\right>$. Eso es matemáticamente incorrecto. La esfera de Bloch se utiliza para representar el estado de espín de un espín.$\frac12$partícula. Por lo tanto, el espacio de Hilbert asociado es bidimensional. usted denota$\left|0\right>$y$\left|1\right>$los vectores base. Ahora, puedes escribir cualquier vector de estado en ese espacio de Hilbert como

Ahora, si tuvieras parámetros reales$\alpha_k$, usarías un círculo, definiendo probablemente$\alpha_0=\cos\theta$y$\alpha_1=\sin\theta$, que automáticamente estaría de acuerdo con (1). Pero en un espacio de Hilbert complejo tienes un grado más de libertad, que es añadir una fase relativa entre$\alpha_0$y$\alpha_1$(una fase global es inútil). Necesita entonces una representación de dos paramétricas para$\alpha_k$satisfactorio (1). La más natural es tomar los dos ángulos de una esfera unitaria, y eso es lo que es la esfera de Bloch.

Entonces, el vector unitario$\hat z$representa el vector espacial de Hilbert$\left|0\right>$, y$-\hat z$representa el vector espacial de Hilbert$\left|1\right>$, pero no son iguales como dice esa imagen de wiki.

Para complementar las respuestas anteriores: parte de la continua confusión con el uso de la esfera de Bloch es que los vectores ortogonales en el espacio de Hilbert, como$\vert 0\rangle$y$\vert 1\rangle$, se asignan a vectores en la esfera de Bloch que ya no son ortogonales sino en dirección opuesta. Por lo tanto, los productos escalares y las combinaciones lineales tomadas en el espacio de Hilbert deben manejarse con cuidado cuando se "exportan" a la esfera de Bloch.