¿Existen representaciones geométricas naturales para un qubit que no sea la esfera de Bloch? [cerrado]

Aquí hay una vaga intuición de por qué la forma de la esfera de Bloch es una esfera. (Para algo más riguroso, consulte esta respuesta ).

La esfera bloch representa una visualización (sobre una esfera) del conjunto de todas las posibilidades que se pueden asignar a un qubit. Para tener una idea de por qué la forma es una esfera, mostraré que hay dos ángulos independientes, cada uno de los cuales puede formar círculos: estos círculos representan el "ecuador" y el "meridiano principal".

Primero (asumiendo que tenemos estados puros), un qubit se puede representar como

$cos(\theta) |0\rangle + sin(\theta) e^{i \phi} |1\rangle$

Estos dos ángulos independientes se pueden trazar para formar sus propios círculos independientes. Primero cubramos cómo$\theta$forma un círculo.

(Para un fijo$\phi = 0$), si trazamos las amplitudes de probabilidad del estado como un vector ($|0\rangle$, en la dirección x, y$|1\rangle$en la dirección y), verás que a medida que graficamos cada posible$\theta$valor, obtenemos un "círculo" de posibilidades. También tenga en cuenta que este círculo sigue la restricción que requiere que las probabilidades sumen 1:$|c_0|^2 + |c_1|^2$= 1

Ahora, esta restricción incrustada en$\theta$nos dice cómo se restringen las partes reales de nuestras amplitudes, pero no tenemos ninguna información sobre las partes imaginarias de nuestras amplitudes.

En forma polar podemos representar cualquier número complejo como$c = |c|e^{i\phi}$, y podemos graficar esto en el "plano complejo". si variamos$\phi$, pero mantenemos |c| constante, entonces vemos que esto forma un círculo. La clave aquí es que para representar números complejos, agregamos una dimensión adicional para representar valores que toman i.

Así que ahora vemos que hemos formado dos círculos independientes. Estos forman un "ecuador" y un "meridiano principal" para el conjunto más amplio de posibilidades. Las dimensiones del gráfico 3D que forma un círculo son {Parte real de$|0\rangle$, parte real de$|1\rangle$, Imagen Parte de$|1\rangle$}

Para obtener la esfera completa, podemos encontrar lo que cada una de estas tres dimensiones son para todos los valores de$\theta$y$phi$. Resolvamos esto para que podamos trazar una esfera completa.

parte real de$|0\rangle$:$cos(\theta)$

parte real de$|1\rangle$:$sin(\theta)*sin(\phi)$

Imagen parte de$|1\rangle$:$cos(\theta)*sin(\phi)$

Si está familiarizado con las coordenadas polares, esto describe la ecuación para un círculo con un radio de 1. Los puntos en la superficie de la esfera representan el conjunto de todos los valores posibles que se pueden asignar a las amplitudes de probabilidad asignadas a un solo qubit.

EDITAR: "Desarrollé esta respuesta" como se solicitó en los comentarios. También tenga en cuenta que la siguiente explicación solo cubre los "estados puros" y se requeriría una descripción diferente para los estados mixtos.