Ejemplos de estados de productos de matriz

Los estados de productos de matriz (MPS) son una forma de representar una función de onda (de muchos cuerpos). El método ha sido descrito, por ejemplo, en

El grupo de renormalización de matriz de densidad en la era de los estados de producto de matriz. U. Schollwoeck. Ana. Phys 326 , 96 (2011) , arXiv:1008.3477 .

Sin embargo, ¿sería posible ver un ejemplo concreto para un sistema pequeño? ¿Cómo se verá el MPS para los siguientes dos casos?

  1. Un sistema de dos vueltas: 1 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ )
  2. Para un sistema de tres giros: 1 2 ( | ↑↑↑ ⟩ + | ↓↓↓ ⟩ )

Respuestas (1)

Puede pensar en un MPS como construido por objetos con tres índices. ¿Cómo representar fácilmente tal objeto? Podemos pensar en esto como una matriz donde cada entrada es un vector (en particular, el vector será un vector en el espacio de Hilbert en el sitio, por ejemplo, para un sistema de espín 1/2 será de la forma α | ↑ ⟩ + β | ↓ ⟩ ).

Entonces, para una cadena donde el espacio de Hilbert en el sitio es un giro 1/2, cada sitio tendrá un objeto asociado, como este:

A = ( α 11 | ↑ ⟩ + β 11 | ↓ ⟩ α 12 | ↑ ⟩ + β 12 | ↓ ⟩ ⋯ α 21 | ↑ ⟩ + β 21 | ↓ ⟩ α 22 | ↑ ⟩ + β 22 | ↓ ⟩ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ )

Si es un sistema invariante traslacionalmente, podemos tener que cada sitio tiene el mismo A asociado a ella. El estado físico de nuestro sistema se obtiene entonces multiplicando todos estos A matrices (donde 'multiplicamos' los elementos de la matriz a través de la estructura del producto tensorial), más precisamente:

| ψ ⟩ = Tr ( A norte )
donde hemos supuesto condiciones de frontera periódicas. Aquí norte es el número de sitios. Tenga en cuenta que este objeto ahora es puramente un vector en el producto tensorial de los espacios de Hilbert en el sitio. Entonces, por ejemplo, en el caso simple de que
A = ( | ↑ ⟩ 0 0 | ↓ ⟩ )
entonces
A norte = ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | ↑ ⟩ 0 0 | ↓ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | ↓ ⟩ )
Entonces, con condiciones de contorno periódicas, obtenemos el estado cat. | ψ ⟩ = | ↑ ⋯ ↑ ⟩ + | ↓ ⋯ ↓ ⟩ .

Eso responde a tu (ii). Dejo (i) como ejercicio ;)

Aquí hay una forma más sistemática de hacerlo, pero más engorrosa. Así es como lo haría una computadora: physics.stackexchange.com/questions/251522/…
Muchas gracias por la respuesta :) Siguiendo el ejemplo de su comentario, la solución para (i), supongo, debería ser 2 × 2 matriz con elementos ( 0 , 1 / 2 , 1 / 2 , 0 ) .
Según el enlace que compartió, la solución parece ser la que mencioné en mi comentario anterior. Si bien, cuando pienso en la misma solución en la forma en que mencionaste en la respuesta detallada aquí, debería haber un A matriz correspondiente a cada sitio y por lo tanto el estado MPS debe ser un producto tensorial de dos matrices. Si estos son,
| Ψ ⟩ = T r ( A 1 A 2 )
dónde A 1 = [ | ↑ ⟩ 0 0 | ↓ ⟩ ] y A 2 = [ | ↓ ⟩ 0 0 | ↑ ⟩ ] ? Gracias.
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