Productos internos de Spinor

El producto interno del espinor en física de partículas viene dado por ψ ¯ ψ = ψ † γ 0 ψ , donde tomo la convención de que la matriz gamma cero es hermítica mientras que el resto es antihermítica. Esto es invariante bajo transformaciones de grupos de espín, ψ → mi ω a b S a b ψ , con ω a b parámetros reales y S a b = 1 4 [ γ a , γ b ] .

Sin embargo, hay un segundo producto interno invariante dado por ψ † γ 0 γ 5 ψ , con γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . Mi pregunta es, ¿por qué no el otro? ¿Se debe al hecho de que hay diferencias observables entre los dos, y uno se ve favorecido por el experimento?

¿Qué quiere decir con "usar un producto interno y no el otro"? ¿Dónde usamos uno y no el otro?
Disculpas, quiero decir que en el modelo estándar el producto interno del espinor es ψ † γ 0 ψ . Mi pregunta es ¿por qué no el otro?
Puramente especulativo, ya que no he tenido un módulo adecuado en el SM, supongo que tiene que ver con el hecho de que ψ † γ 0 ψ se utiliza para el Lagrangiano de Dirac, que produce la famosa ecuación de Dirac. Esta ecuación es necesaria para describir QED (y tal vez otros procesos que aún no he estudiado).
Cambié la pregunta según @Steven: ``¿por qué no la otra?''

Respuestas (1)

Bueno el γ 5 término aparece en el modelo estándar.

Como usted nota debidamente, ambos ψ ¯ ψ y ψ ¯ γ 5 ψ son invariantes de Lorentz, por lo que la pregunta es, ¿en qué se diferencian?

Resulta que la diferencia radica en sus transformaciones bajo una transformación de Paridad. Sin prueba, afirmo que bajo PAG : ( X , y , z ) → ( − X , − y , − z ) , ψ ¯ ψ → ψ ¯ ψ , mientras ψ ¯ γ 5 ψ → − ψ ¯ γ 5 ψ .

Entonces, el primer objeto es un escalar verdadero mientras que el segundo objeto es un pseudoescalar (es decir, toma un signo menos debajo de PAG ). Así, si tenemos el segundo término en el Lagrangiano, se rompe la simetría de Paridad.

Resulta (experimentalmente) que PAG de hecho se rompe en la interacción débil. Así que tenemos un vértice de interacción débil (para un electrón + neutrino → W − interacción, por ejemplo) que parece

∼ − − i gramo m v 2 2 γ m ( 1 − γ 5 ) .

Este es un acoplamiento de vector axial, que no es invariante de paridad.

Sin embargo, el pseudoescalar ψ ¯ γ 5 ψ no aparece en el SM porque el objeto ( 1 − γ 5 ) / 2 = PAG L es el proyector sobre el componente izquierdo de un espinor, por lo que solo puede aparecer si desea una teoría en la que el término de masa de los espinores dextrógiros y zurdos sean diferentes, lo que no observamos experimentalmente.

Como pregunta de seguimiento: en (3+1) dimensiones, la medida de la acción integral se transforma con un signo menos en una transformación de paridad. ¿No significaría eso que la acción solo es invariante si el Lagrangiano es un pseudoescalar bajo paridad?
Hm, ¿por qué cambiaría la medida? si cambias X → − X los límites de integración también se invierten: es decir, la integral ∫ − ∞ ∞ d X → − ∫ ∞ − ∞ d X = ∫ − ∞ ∞ d X entonces me parece que la medida es invariante?
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