Transformaciones locales de Lorentz

Si γ metro denota una matriz gamma de espacio tangente, y γ m denota una matriz gamma de espacio curvo, entonces están relacionados por

γ m ( X ) = γ metro mi metro m ( X )

dónde mi metro m ( X ) es el vielbein. Bajo una transformación local de Lorentz,

d yo L mi metro m ( X ) = λ metro norte ( X ) mi norte m ( X )

Además, las matrices gamma con índices espaciales planos satisfacen { γ metro , γ norte } = 2 η m v mientras que las matrices gamma con índices espaciales curvos satisfacen { γ m ( X ) , γ v ( X ) } = 2 gramo m v ( X ) .

En mi opinión, γ metro y mi metro m ( X ) debe transformarse de manera opuesta bajo las transformaciones locales de Lorentz, y por lo tanto γ m ( X ) debe permanecer inerte.

Pero también deberían hacerlo los productos arbitrarios de matrices gamma de espacios curvos, en particular algo así como γ m v ρ . Sin embargo, al probar que la densidad lagrangiana Rarita-Schwinger de espín 3/2 es invariante bajo las transformaciones locales de Lorentz, uno encuentra un término ψ ¯ m γ m v ρ D v ψ ρ , lo que implicaría d yo L ( γ m v ρ ) (entre otras cosas). ¿Es tal término cero?

¿Cuál es el defecto de esta hipótesis, si lo hay?

EDITO : No es cierto que γ metro y mi metro m transformarse opuestamente bajo transformaciones locales de Lorentz. De hecho, como muestran las respuestas a continuación, γ metro no se transforma en nada.

Respuestas (2)

Comentarios a la pregunta (v1):

  1. Hay tres tipos de índices en juego: (i) índices de espinor, (ii) índices planos (vectoriales) e (iii) índices curvos (vectoriales).

  2. Las matrices gamma con índices planos son constantes. No se transforman bajo las transformaciones locales de Lorentz (LLT). Pueden verse como entrelazadores entre índices de espinor e índices planos. (Los términos LLT también se analizan, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE).

  3. Los índices de espinor y los índices planos de (1) vielbeins y (2) campos de espinor/vector/tensor (como, por ejemplo, el campo de Rarita-Schwinger ) se transforman bajo LLT, pero no índices curvos.

  4. Se puede demostrar que la densidad lagrangiana de Rarita-Schwinger

    (A) L R S ( mi , ψ )   =   ψ ¯ m γ m v ρ D v ψ ρ
    es invariable bajo las LLT. Tenga en cuenta que los índices de espinor se entienden implícitamente en la ec. (A).

Publiqué la pregunta hace unas horas y me di cuenta de que la respuesta radica en el hecho de que ( γ metro ) α β tiene dos tipos de índices. Es cierto que también lo hace ( γ m ) α β . Pero el hecho es que las matrices gamma del espacio plano son tensores invariantes del grupo de Lorentz S O ( d − 1 , 1 ) .

El hecho de que d yo L ( γ metro ) α β = 0 can se debe al hecho de que hay tres términos en la ley de transformación: un término orbital (para el índice plano metro ) y dos términos de giro (para los índices de espinor α y β ). La suma de estos tres términos es cero.

Para realizar manipulaciones similares en d yo L γ m v ρ , uno debe escribir la matriz gamma del espacio curvo en términos de vielbeins (que se transforman) y matrices gamma del espacio plano (que no se transforman).

El propósito de escribir esta respuesta es enfatizar que son las matrices gamma de espacio plano las que son tensores invariantes del grupo de Lorentz, y no las que tienen índices de espacio curvo. No encontré esto claramente explicado en un libro, así que pensé que podría ser útil para alguien que es nuevo en la supergravedad y tales manipulaciones.

Nota: acabo de ver la respuesta de QMechanic, que refuerza esto.

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