Transformación de Lorentz de matrices Gamma γμγμ\gamma^{\mu}

Creo que la forma más clara de pensar en esto es decir que las matrices gamma no se transforman. En otras palabras, el hecho de que lleven un índice vectorial no significa que formen un vector de cuatro. Esto es análogo a cómo funcionan las matrices de Pauli en la mecánica cuántica regular, así que déjenme hablar un poco sobre eso.

Supongamos que tienes un giro$1/2$partícula en algún estado$|\psi\rangle$. Puede calcular el valor medio de$\sigma_x$haciendo$\langle \psi | \sigma_x | \psi\rangle$. Ahora digamos que rotas tu partícula en un ángulo$\theta$alrededor de$z$-eje. (Advertencia: hay un 50% de posibilidades de que mis signos sean incorrectos). Ahora describe su partícula con un ket diferente, dado por$|\psi'\rangle = \exp(-i \sigma_z \theta /2)$. Recuerda que estamos dejando las coordenadas fijas y girando el sistema, como se suele hacer en mecánica cuántica. Ahora el valor esperado está dado por

Hay un teorema claro, no demasiado difícil de probar, que dice que

Entonces resulta que el valor esperado para el sistema rotado también está dado por$\langle \psi |\, \cos \theta\, \sigma_x -\sin \theta\, \sigma_y \, |\psi\rangle = \cos \theta\, \langle \sigma_x \rangle - \sin \theta\, \langle \sigma_y \rangle$. Es como si dejáramos nuestra partícula sola y rotamos las matrices de Pauli. Pero tenga en cuenta que si aplicamos la rotación a$|\psi\rangle$, entonces no tocamos las matrices. Además, nunca dije que transformé las matrices. Acabo de transformar el estado y luego descubrí que podía dejarlo solo y rotar las matrices.

La situación para un espinor de Dirac es similar. La identidad análoga es que$S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu} = \gamma^\nu$. Esto es simplemente algo que es cierto; nadie dijo nada de transformar$\gamma^\mu$. No hay$\gamma^\mu \to \dots$aquí.

Ahora tomemos la ecuación de Dirac,$(i \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0$y aplicar una transformación de Lorentz. Esta vez cambiaré las coordenadas en lugar de impulsar el sistema, pero no hay una diferencia real. Digamos que tenemos nuevas coordenadas dadas por$x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu$, y queremos ver si la ecuación de Dirac se ve igual en esas coordenadas. El campo$\psi'$como se ve en el$x'^\mu$marco está dado por$\psi' = S(\Lambda) \psi \iff \psi = S^{-1}(\Lambda) \psi'$, y las derivadas están relacionadas por$\partial_\mu = \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu$. Enchufando obtenemos$(i\gamma^\mu \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu-m) S^{-1}(\Lambda)\psi' = 0$, que en realidad no se parece a nuestra ecuación original. Pero multipliquemos a la izquierda por$S(\Lambda)$.$m$es un escalar entonces$S$lo atraviesa y cancela con$S^{-1}$. Y en el primer término obtenemos$S(\Lambda)\gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu}$, que de acuerdo con nuestra identidad de confianza es solo$\gamma^\nu$. Nuestra ecuación entonces se simplifica a

Esta es la misma ecuación, pero escrita en el marco imprimado. Observe cómo las matrices gamma son las mismas que antes; cuando estás en clase y el profesor las escribe en la pizarra, no hace falta que preguntes en qué sistema de coordenadas son válidas. Todos usan las mismas matrices gamma. No son realmente un cuadrivector, pero su "ley de transformación" garantiza que cualquier cosa escrita como si fueran un cuatrivector es invariante de Lorentz siempre que estén presentes los espinores apropiados.

Las matrices gamma no cambian si no se aplica un cambio de representación (por ejemplo, quiral -> estándar) junto con la transformación de Lorenz. Recuerde que puede escribir la ecuación de Dirac en cualquier marco con matrices gamma en la misma representación (por ejemplo, quiral). Si cambia la representación de ellos usando una matriz invertible$\gamma^\mu \to S\gamma^\mu S^{-1}$(que no es una transformación de Lorenz, es decir, un escalar en este sentido) el espinor también se transforma por S:$\Psi \to S\Psi$. Esta es la fuente de la confusión: es$S=I$entonces tu ecuacion

debe leer como

Espero haber ayudado a exorcizar la confusión.

El problema aquí es solo una mala notación.

$γ$es una inyección lineal de$\mathbb{R}^{3,1}$al álgebra de Clifford de$\mathbb{R}^{3,1}$, que lleva cada vector a sí mismo. Si eres fanático de la notación de índice abstracto, debería tener un índice vectorial y un índice de Clifford. ^* Si no eres fanático de la notación de índice abstracto, no debería tener índices. Ciertamente no debería tener un índice.

Pero la física de partículas se ha decidido por el uso de índices explícitos para$T(V)$e índices ocultos para$C\ell(V)$, y ahora tenemos que vivir con eso para siempre, junto con todos los otros desafortunados accidentes congelados de la notación matemática.

Esto por sí solo no le dice cuál es la regla de transformación para$γ$debiera ser; simplemente significa que no es interesante. Es simplemente una cuestión de convención y no una propiedad profunda de la geometría del espinor. Se podría adoptar la convención de que las matrices de Dirac representan cuatro direcciones físicas fijas en el espacio-tiempo, en cuyo caso$γ$se transformaría y los espinores no. Pero la convención habitual es que representan cualquier base que esté usando actualmente en la notación vectorial, y luego$γ$se transforma como una matriz de identidad, ya que eso es más o menos lo que es.

^{* En lugar de un índice de Clifford, probablemente debería tener dos índices de spinor, pero no quería decir eso fuera de una nota al pie por temor a distraerme de mi punto.}