¿Es spinor la suma de escalar, vector, bi-vector, pseudo-vector y pseudo-escalar?

Question

¿Es spinor la suma de escalar, vector, bi-vector, pseudo-vector y pseudo-escalar?

Física
espinores
vectores
matrices de dirac
modelo estandar
Álgebra de Clifford

Mad Max

es spinor $\psi$ en realidad la suma de escalar, vector, bi-vector, ..., pseudo-escalar?

Antes de hablar de espinores, tenemos que diferenciar dos tipos de espacio-tiempo, demostrado con el ejemplo de la conexión de espín de 1 forma $\omega$ en la gravedad de Einstein-Cartan

ω = \frac{1}{4} ω_{m}^{a b} γ_{a} γ_{b} d X^{m} .

$\omega = \frac{1}{4}\omega^{ab}_{\mu}\gamma_a\gamma_bdx^{\mu}.$ La conexión de espín de 1 forma

ω

$\omega$ es un

Vector en variedad de espacio-tiempo caracterizado por base de vector diferencial $dx^{\mu}$ .
Bi-vector en el espacio-tiempo interno (local, tangencial o haz spinor) caracterizado por antisimétrico $\gamma_a\gamma_b$ , dónde $\gamma_a$ son base vectorial de Dirac.

(Un ejemplo adicional: la torsión de 2 formas $T = \frac{1}{2}T^{a}_{\mu\nu}\gamma_a dx^{\mu}dx^{\nu}$ es un bi-vector y un vector en los dos espacios anteriores, respectivamente)

Ahora volvamos a nuestra afirmación inicial: un espinor es un

Escalar en una variedad de espacio-tiempo caracterizada por una base vectorial diferencial $dx^{\mu}$ . el espinor $\psi$ es un $0$ -forma.
Suma de escalares, vectores, bi-vectores, ..., pseudo-escalares, en el espacio-tiempo interno (haz de espinor) caracterizado por la base vectorial de Dirac $\gamma_a$ : $\psi = \xi_s + \xi_v^{a}\gamma_a + \xi_{bv}^{ab}\gamma_a\gamma_b + ...$ . Los coeficientes individuales como $\xi_s$ y $\xi_v^a$ son solo números (gracias a Grassmann), no columnas. En otras palabras, un espinor de Dirac (p. ej., un neutrino y un electrón juntándose como un doblete de isospín) abarca todo el espacio de los 16 elementos del "álgebra de Dirac". No solo un subespacio de él. Se evidencia parcialmente mediante la proyección indirecta de un espinor a los componentes medibles, como escalar bilineal. $tr(\bar{\psi}\psi)$ , vector bilineal (actual) $tr(\bar{\psi}\gamma_a\psi)$ , bi-vector bi-lineal $tr(\bar{\psi}\gamma_a\gamma_b\psi)$ , etc. Tenga en cuenta que aquí un espinor de Dirac ya no es una columna de 4*1, sino que vive en el mismo espacio de operador (matrices de 4*4, por así decirlo, es por eso que tenemos que tomar trazas tr(.. .) para las bilineales de Spinor arriba) divididas por el álgebra de Dirac. El espinor de columna convencional es solo una proyección idempotente (un ideal individual izquierdo como un neutrino o un electrón) del espinor de matriz. Solo hay 2 espinores de columna (doblete de isospín electrón/neutrino) en lugar de 4: la reducción de 4 a 2 tiene que ver con el hecho de que las matrices complejas 4*4 son una cubierta doble del álgebra de Dirac real. Más precisamente, el verdaderoEl álgebra de Dirac es isomorfa a matrices 2*2 de cuaterniones en lugar de números complejos, por lo tanto, solo hay 2 columnas. Una belleza de este enfoque de espinor matricial (doblete isospin) es que puede modelar la transformación interna del grupo de Lorentz actuando en un lado del espinor como $\exp(\epsilon^{ab}\gamma_a\gamma_b)\psi$ (a,b = 0, 1, 2, 3), y transformación de grupo débil actuando en el otro lado del mismo espinor de manera similar a $\psi \exp(\epsilon'^{ab}\gamma_a\gamma_b)$ (a, b = 1, 2, 3) . ¿Qué hay de los quarks y las interacciones fuertes? Pista: tienes que ir más allá del álgebra de Dirac.

Tenga en cuenta que hay dos tipos (externos e internos) de transformaciones de Lorentz:

Transformación de Lorentz externa (porción de rotación global del difeomorfismo local) en formas diferenciales (por ejemplo, campo de calibre electromagnético 1-forma $A = A_{\mu}dx^{\mu}$ ) se realiza en la variedad de espacio-tiempo caracterizada por una base vectorial diferencial $dx^{\mu}$ .
Transformación interna de Lorentz $\exp(\epsilon_{ab}\gamma_a\gamma_b)$ sobre objetos con valor de álgebra de Dirac se realiza en el espacio-tiempo interno caracterizado por toda el álgebra de Dirac (campo de espinor $\psi$ ) o bi-vector/parte vectorial de él (conexión de espín de 1 forma $\omega$ /tétrada de 1 forma $e$ ).

La mayoría de las veces, avanzamos (y nos salimos con la nuestra) entre los espacios externo e interno (por ejemplo, el fermión de Kahler-Dirac) sin mencionarlo explícitamente, gracias a la soldadura de 1 forma vielbein/frame/tetrad $e$ , que es un vector en la variedad de espacio-tiempo caracterizado por una base vectorial diferencial $dx^{\mu}$ , así como un vector en el paquete interno/espinor generado por la base vectorial de Dirac $\gamma_{a}$ .

En el espacio-tiempo plano, el vielbein/frame/tetrad $e$ tiene la forma:

mi = {mi}_{m}^{a} γ_{a} d X^{m} = d_{m}^{a} γ_{a} d X^{m},

$e = e^{a}_{\mu}\gamma_adx^{\mu} = \delta^{a}_{\mu}\gamma_adx^{\mu},$ que une muy bien los dos espacios, "soldando"

γ_{a}

$\gamma_a$ y

d x^{μ}

$dx^{\mu}$ a través de la función delta

δ_{μ}^{a}

$\delta^{a}_{\mu}$ y produciendo la métrica minkowskiana

{gramo}_{m v} \sim t r ({mi}_{m}^{a} γ_{a} {mi}_{v}^{b} γ_{b}) = t r (γ_{m} γ_{v}) \sim η_{m v} .

$g_{\mu\nu} \sim tr(e^{a}_{\mu}\gamma_ae^{b}_{\nu}\gamma_b) = tr(\gamma_\mu \gamma_\nu) \sim \eta_{\mu\nu} .$

Tenga en cuenta que

< 0 | {mi}_{m}^{a} | 0 >= d_{m}^{a}

$<0|e^{a}_{\mu}|0>= \delta^{a}_{\mu}$ es un valor esperado de vacío distinto de cero del campo de 1 formulario

e

$e$ , que rompe las invariancias locales de Lorentz externas (difeomorfismo) e internas . Sin este efecto de ruptura de simetría dado por Dios, nuestro espacio-tiempo será menos métrico y desprovisto de la noción de distancia e intervalo de tiempo.

{gramo}_{m v} = 0.

$g_{\mu\nu} = 0.$ Un espacio-tiempo (casi) sin métricas sería el patio de recreo perfecto para los agujeros de gusano y los viajeros del tiempo/espacio.

una mente curiosa

No entiendo esta pregunta. 1. "variedad de espacio diferencial" no es un término técnico. ¿Qué quieres decir? 2. La conexión de espín no es un espinor, por lo que no está claro por qué está hablando de que es un "vector" o un "bivector" (no es un "bivector"), y qué tiene que ver con la pregunta de lo que es un espinor.

qmecanico

Comentarios: 1. Las matrices de Dirac deben multiplicarse de izquierda a derecha. 2. Y no, ese no es un espinor de Dirac.

Mad Max

No importa @Qmechanic. Los coeficientes como

ψ_{s}

$\psi_s$ y

ψ_{v}^{a}

$\psi_v^a$ son solo números (gracias a Grassmann), no columnas.

qmecanico

Un espinor de Dirac

ψ

$\psi$ es un

4 \times 1

$4\times 1$ vector de columna

Mad Max

No, un espinor de Dirac vive en el espacio del operador abarcado por la base del vector de Dirac

γ_{a}

$\gamma_a$ .

david z

@MadMax Intente minimizar la cantidad de ediciones individuales que realiza. Cada edición debe solucionar todos los problemas con su pregunta que ve en ese momento, y debe agrupar los cambios individuales y solo hacer un lote de ellos a la vez; Si te encuentras editando una publicación determinada más de 3 a 5 veces en total , probablemente estés haciendo algo mal. Esta publicación en particular ha sido editada 40 veces, lo cual es demasiado , así que no la vuelvas a editar y ten en cuenta el mismo principio para otras publicaciones que hagas.

Respuestas (3)

¿Es spinor la suma de escalar, vector, bi-vector, pseudo-vector y pseudo-escalar?

No entiendo esta pregunta. 1. "variedad de espacio diferencial" no es un término técnico. ¿Qué quieres decir? 2. La conexión de espín no es un espinor, por lo que no está claro por qué está hablando de que es un "vector" o un "bivector" (no es un "bivector"), y qué tiene que ver con la pregunta de lo que es un espinor.
Comentarios: 1. Las matrices de Dirac deben multiplicarse de izquierda a derecha. 2. Y no, ese no es un espinor de Dirac.
No importa @Qmechanic. Los coeficientes como $\psi_s$ y $\psi_v^a$ son solo números (gracias a Grassmann), no columnas.
Un espinor de Dirac $\psi$ es un $4\times 1$ vector de columna
No, un espinor de Dirac vive en el espacio del operador abarcado por la base del vector de Dirac $\gamma_a$ .
@MadMax Intente minimizar la cantidad de ediciones individuales que realiza. Cada edición debe solucionar todos los problemas con su pregunta que ve en ese momento, y debe agrupar los cambios individuales y solo hacer un lote de ellos a la vez; Si te encuentras editando una publicación determinada más de 3 a 5 veces en total , probablemente estés haciendo algo mal. Esta publicación en particular ha sido editada 40 veces, lo cual es demasiado , así que no la vuelvas a editar y ten en cuenta el mismo principio para otras publicaciones que hagas.

una mente curiosa · Answer 1

No hay "dos espacio-tiempos". Hay un solo espacio-tiempo $M$ , que es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones, y hay un montón de paquetes sobre ella.
La conexión de espín es formalmente una forma de conexión en un $\mathrm{SO}(1,3)$ - paquete principal sobre $M$ que puede actuar sobre cualquier cosa que se transforma en una representación del álgebra de Lorentz. No es un bivector, es una forma local 1 que es $\mathfrak{so}(1,3)$ -valorado. Entonces, como una forma 1, tiene componentes $\omega_\mu$ y como un $\mathfrak{so}(1,3)$ -objeto valorado podemos expandirlo en una base del álgebra de Lorentz. Los conmutadores de la $\gamma$ -las matrices forman una base de $\mathfrak{so}(1,3)$ , así conseguimos tu expansión $\omega = \omega_\mu\mathrm{d}x^\mu = {\omega_\mu}^{ab}[\gamma_a, \gamma_b] \mathrm{d}x^\mu$ . Para obtener más información sobre la conexión de giro, consulte también esta respuesta mía .
Un campo espinorial ahora es una función que toma valores en alguna representación espinorial de $\mathfrak{so}(1,3)$ , por ejemplo, la etiquetada por $(1/2,1/2)$ , la representación de Dirac. Por lo tanto, la conexión de espín puede actuar sobre él. Dicho de otra manera, un campo spinor es una sección de un paquete asociado (el paquete spinor ) al paquete en el que vive la conexión de espín, de otra manera equivalente, la conexión de espín vive en el paquete marco del paquete espinor. Tenga en cuenta que este es un campo espinoso . Se entendería más comúnmente que un "espinor" no vive en una variedad en absoluto y solo es un vector único en el $(1/2,1/2)$ -espacio de representación.

Sin embargo, toda esta charla sobre paquetes es excesiva para muchas aplicaciones físicas, aunque es bueno estar al tanto de su existencia. La mayoría de las veces, basta con tomar el punto de vista local (en el que los paquetes son productos), de modo que la conexión de espín es simplemente una $\mathfrak{so}(1,3)$ -campo valorado que actúa sobre otros campos que toman valores en alguna representación de $\mathfrak{so}(1,3)$ .

La expresion

ψ = ψ_{s} + ψ_{v}^{a} γ_{a} + \dots

$\psi = \psi_s + \psi_v^a \gamma_a +\dots$ escribes no tiene sentido en ninguno de estos contextos. Puede elegir una base del espacio vectorial de representación en el que el espinor toma valores y expandirlo en términos de él, pero el

γ

$\gamma$ -las matrices actuan sobre el espinor, no son una base para su espacio.

Un espinor vive en el mismo espacio de operadores (matrices 4*4, por así decirlo) abarcado por la base vectorial de Dirac $\gamma_a$ . El espinor de columna es solo una proyección idempotente (ideal izquierda/derecha) del espinor de matriz.
@MadMax Ese es un reclamo no estándar. ¿Por qué piensas eso?

cuchillos · Answer 2

Estos son los fermiones de K{\"a}hler-Dirac

Como se señaló en los comentarios, considere un $4 \times 1$ columna que representa un espinor de Dirac. Claramente uno puede incrustar esto en un $4 \times 4$ matriz de ceros y la ecuación

(γ^{m} \partial_{m} - metro) Ψ = 0 (1)

$\begin{equation} (\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 \quad \quad (1) \end{equation}$ tiene sentido. De hecho, uno puede escribir cualquier

4 \times 4

$4 \times 4$ matriz como

Ψ = F_{0} + F_{m} γ^{m} + \frac{1}{2} F_{m v} γ^{m} γ^{v} + \frac{1}{6} F_{m v σ} γ^{m} γ^{v} γ^{σ} + F_{0123} γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3}

$\Psi = f_0 + f_{\mu}\gamma^{\mu} + \frac{1}{2}f_{\mu \nu} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + \frac{1}{6}f_{\mu \nu \sigma}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\sigma} + f_{0123}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}$ incluyendo la columna de arriba.

Ahora, considere la derivada exterior y su adjunto, $d$ y $\delta$ . Uno puede construir un $p$ -campo de forma como una combinación lineal de $p$ -formas como

ω = F_{0} + F_{m} d X^{m} + \frac{1}{2} F_{m v} d X^{m} d X^{v} + \frac{1}{6} F_{m v σ} d X^{m} d X^{v} d X^{σ} + F_{0123} d X^{0} d X^{1} d X^{2} d X^{3}

$\omega = f_{0} + f_{\mu} dx^{\mu} + \frac{1}{2}f_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} + \frac{1}{6}f_{\mu \nu \sigma}dx^{\mu}dx^{\nu}dx^{\sigma} + f_{0123} dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ y aplicar el operador

(d - δ)

$(d - \delta)$ a

ω

$\omega$ . Lo que se encuentra es que la acción de

γ^{μ} \partial_{μ}

$\gamma^{\mu}\partial_{\mu}$ en

Ψ

$\Psi$ es lo mismo que la acción de

(d - δ)

$(d - \delta)$ en

ω

$\omega$ . Pero desde

Ψ

$\Psi$ es un

4 \times 4

$4 \times 4$ matriz, Ec. (1) son cuatro copias de la ecuación de Dirac, una para cada columna. Sucesivamente,

((d - d) - metro) ω = 0 (2)

$((d - \delta) - m)\omega = 0 \quad \quad (2)$ es equivalente a cuatro copias de la ecuación de Dirac ya que los dos operadores actúan de forma idéntica sobre sus respectivos objetos. Sin embargo, la ecuación. (2) es válida para cualquier métrica, mientras que la Eq. (1) solo es bueno en el espacio-tiempo plano, y medir la derivada no hace que las ecuaciones (1) y (2) sean iguales.

Las referencias de las que aprendí esto son Banks y Rabin .

Espero que esto ayude, avíseme si debo aclarar, tal vez pueda agregar algo más más tarde.

Observaciones menores: 1, Su $\omega$ no es un $p$ -forma, sino una suma formal de $p$ -formas. 2. Que cualquier matriz de 4x4 puede generarse mediante sumas de productos de $\gamma$ -matrices es una manifestación del hecho de que las álgebras de Clifford en dimensión par $n$ son las álgebras de matrices complejas completas de dimensión $2^{n/2}$ . 3. Creo que la información en su comentario, que estos son fermiones de Kähler-Dirac y no los fermiones estándar de Dirac, también encajaría bien en esta respuesta.
@ACuriousMind Gracias por los comentarios. Te agradezco que lo revises. Haré algunas ediciones.

doetoe · Answer 3

Creo que en realidad te refieres a "elemento del álgebra de Dirac" donde dices "Dirac spinor".

El álgebra de Dirac es el álgebra de Clifford del espacio de Minkowski. Esta es el álgebra más pequeña que contiene el espacio de Minkowski $\mathbb R^{1,3}$ mismo, y de modo que para los elementos $v,w\in \mathbb R^{1,3}$ tenemos $vw = \langle v,w\rangle$ , dónde $vw$ es el producto en el álgebra de Dirac, y $\langle v,w\rangle$ es el producto interno de los dos, que es un escalar y, como tal, también un elemento del álgebra de Dirac. Esto tiene una representación como un álgebra de $4\times 4$ matrices, como bien sabes.

si escribimos $\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3$ para la imagen de una base ortonormal de $\mathbb R^{1,3}$ en el álgebra de Dirac, entonces no es difícil ver que los elementos de la forma $\gamma_{i_1}\cdots\gamma_{i_n}$ de hecho generar el álgebra de Dirac sobre $\mathbb R$ (o $\mathbb C$ si nos fijamos en el álgebra de Dirac compleja, como lo hacemos en muchas situaciones), en otras palabras, cada elemento del álgebra de Dirac se puede escribir en la forma que anotaste.

Los elementos invertibles del álgebra de Dirac contienen un subgrupo importante, a saber $\text{Spin}(\mathbb R^{1,3})$ de elementos de norma 1. Los elementos del grupo de espín tampoco se llaman espinores. Este grupo tiene una representación irreducible compleja única (hasta conjugación compleja). Son los elementos de esta representación los que son casi espinores: es decir, si elevamos la estructura métrica de la fibra tangente del espacio de Minkowski a una estructura de Spin, las secciones son lo que se denominan espinores de Dirac. Esto es de lo que hablaba ACuriousMind.

No, "Dirac spinor" abarca todo el "álgebra de Dirac" (¡en realidad es la esencia de la pregunta! No solo un subespacio), mientras que Spin(1,3) es solo el subespacio bi-vector donde gira conexión/álgebra de Lorentz se valora en.
Tal vez te refieres a esto: la representación de spinor de $\text{Spin}(\mathbb R^{1,3})$ se extiende a una representación (es decir, un módulo izquierdo) del álgebra de Dirac. Dado que este último es simple, en realidad es una suma directa de copias de este. En ese sentido, los espinores de Dirac pueden verse como elementos del álgebra de Dirac. No estoy seguro de cuán útil es esto: es una suma directa de 4 copias de ellos, que en la representación matricial consisten en matrices con una sola columna distinta de cero. Al tomar combinaciones lineales de elementos de diferentes copias, obtienes cantidades que solo indirectamente tienen que ver con los espinores de Dirac.
En realidad solo hay 2 copias de ellos: un electrón y un neutrino. La reducción de 4 a 2 tiene que ver con 4*4 matrices complejas que son una cubierta doble del álgebra real de Clifford.

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