Motivación para espinores

Como había escrito aquí , el grupo de Lorentz puede representarse como el producto directo de dos$SU(2)$o$SO(3)$grupos El$SU(2)$-realización de la irrep,$\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$, se refiere al tensor de espinor$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$, donde la suma$n + m$representa el valor de espín de la representación:$\frac{n + m}{2} = s$. Si$s$es medio entero, debemos trabajar con índices de espinor. Si$s$es entero, podemos convertir todos los índices de espinores en un vector y olvidarnos de los espinores.

Las representaciones de una partícula del grupo de Poincaré (que describe una partícula con masa definida y espín/helicidad) también se caracterizan por tensores de espinor.$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$, que son los irrep del grupo Lorentz. Así que asumimos que al menos para describir cada media partícula de giro libre debemos trabajar con índices de espinor.

El experimento de Stern-Gerlach había demostrado que el electrón tiene un medio de espín. Entonces, como el Poincaré irrep con giro$\frac{1}{2}$y masa$m$debe ser descrito por 2-spinor$\psi_{a}$(o por el irrep$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$) de por 2-spinor$\psi_{\dot {a}}$(o por el irrep$\left(0, \frac{1}{2}\right)$) . Pero no es difícil mostrar que esta representación no es invariante bajo$C, P, T$-transformaciones (mientras que la teoría real es invariante), por lo que debemos tomar la suma directa de$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$y$\left(0, \frac{1}{2}\right)$. El objeto correspondiente se llama espinor de Dirac.

Además, todas las partículas libres de medio giro en$C, P, T$-La teoría invariante se describe como un objeto como el espinor de Dirac que satisface la ecuación de Dirac (ver aquí ).