Difeomorfismos y la acción de Dirac

Tengo una pregunta sobre los fermiones en el espacio-tiempo curvo. Léalo hasta el final antes de sugerir el enfoque basado en la conexión por espín y el vierbein.

Escuché que hay una forma especial de pensar sobre las partículas de espín-1/2 (fermiones de Dirac) en el espacio-tiempo plano: el campo de espinor$\psi(x)$se considera un multiplete escalar (Grassmaniano) (bajo las transformaciones de Lorentz), pero el vector de 4 valores matricial$\gamma^{\mu}$se transforma como un cuadrivector real.

el valor de la$\psi$El campo aquí está en correspondencia con el valor del campo de transformación de espinor habitual, pero tomado en algún marco de referencia fijo (en el que$\gamma^{\mu}$tomar los valores fijos habituales). cantidades como$\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi$transforman como vectores, que es básicamente por qué este formalismo es equivalente al estándar (con$\psi$transformándose como espinor y constante$\gamma^{\mu}$).

La acción de Dirac es entonces simplemente

$$S[\psi] = \int d^4 x \: \bar{\psi} \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi,$$ que es manifiestamente invariante de Lorentz en este extraño formalismo.

Mi pregunta es sobre el espacio-tiempo curvo de GR. La idea es escribir algo como

$$S[\psi] = \int d^4 x \: \sqrt{-g} \: \bar{\psi} \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi,$$ dónde $\gamma^{\mu}$se transforma como vector de valores matriciales bajo GCT, $\nabla_{\mu} \psi$y $\partial_{\mu} \psi$son equivalentes ya que $\psi$es básicamente un multiplete escalar (grassmaniano). Así que esta nueva acción es manifiestamente difeomorfismo-invariante, y concuerda con el campo de Dirac en el límite del espacio plano. También (desde $\left\{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \right\} = 2 g^{\mu \nu} \cdot 1_{4 \times 4}$) el campo métrico se puede construir a partir de (¿más fundamental?) campo vectorial con valores matriciales $\gamma^{\mu}$.

Mi maestro dice que es incorrecto, y estoy bastante seguro de que lo es, pero no puede explicar por qué (y eso es lo que realmente me molesta). Una suposición es que la interacción entre los fermiones y la gravedad probablemente no sea correcta, ya que no existe un término de conexión de espín (como en el enfoque estándar basado en vierbein).

Entonces la pregunta es: ¿qué debo agregar en esta acción para que el término de interacción fermión-gravedad sea correcto, dado que no quiero abandonar este extraño formalismo y considerar la transformación del espinor de$\psi$.