¿Producto tensorial en mecánica cuántica?

$\lvert A\rangle \langle B \rvert$es el tensor de un ket y un sujetador (bueno, duh). Esto significa que es un elemento del producto tensorial de un espacio de Hilbert$H_1$(ahí es donde viven los kets) y de un espacio dual de Hilbert$H_2^\ast$, que es donde viven los sujetadores. Aunque para los espacios de Hilbert sus duales son isomorfos al espacio original, esta distinción debe tenerse en cuenta. Entonces podemos "alimentar" un ket$\lvert \psi\rangle$de$H_2$al sujetador en$\lvert \phi\rangle\otimes \langle\chi\rvert \in H_1\otimes H_2^\ast$, y quedan con un estado en$H_1$dada por$\langle \chi \vert \psi\rangle \lvert \phi\rangle$. El caso de uso habitual para un producto tensorial de este tipo es cuando$H_1=H_2$para construir un mapa de$H_1$a sí mismo, por ejemplo, el proyector en un estado$\lvert \psi \rangle$es dado por$\lvert\psi\rangle \langle \psi \rvert$.

En general, un tensor en$H_2 \otimes H_1^\ast$corresponde a un operador lineal$H_1\to H_2$. En el caso de dimensión finita, estos son todos operadores lineales , en el caso de dimensión finita, esto ya no es cierto, por ejemplo$H^\ast \otimes H$son precisamente los operadores de Hilbert-Schmidt sobre$H$.

En contraste, un tensor$\lvert A\rangle\otimes \lvert B\rangle$(también recién escrito$\lvert A \rangle \lvert B\rangle$) en$H_1\otimes H_2$, aunque corresponde a un mapa bilineal$H_1\times H_2\to\mathbb{C}$por definición, generalmente no significa un operador, sino un estado . Dados dos sistemas cuánticos$H_1$y$H_2$,$H_1\otimes H_2$es el espacio de los estados del sistema combinado (en cuanto a por qué, vea esta pregunta ).

La noción de producto tensorial es independiente de la estructura espacial de Hilbert, se define para espacios vectoriales en el campo$\mathbb K$(normalmente$\mathbb R$o$\mathbb C$). A continuación se da una definición formal (hay muchos enfoques equivalentes).

Primero, si$V$es un espacio vectorial,$V^*$denota su espacio dual algebraico , a saber, el espacio vectorial de los mapas lineales$f: V \to \mathbb K$con estructura vectorial definida por:

$$(af+bg)(u) := af(u) + bg(u)\quad \forall u \in V \tag 0$$ si $f,g \in V^*$. Resulta que $\textrm{dim} \,V = \textrm{dim} \,V^*$si $\textrm{dim}\, V$es finito, siendo la demostración elemental. Sin embargo, la definición dada de $V^*$no requiere la finitud de la dimensión de $V$.

Para continuar, observe que$V$se identifica con un subespacio de$(V^*)^*$mediante el mapa lineal inyectivo

$$\imath: V \ni v \mapsto \imath(v) \quad \mbox{where $\imath(v)(f) := f(v)$ if $f \in V^*$}\tag 1$$ La incrustación lineal $\imath : V\to (V^*)^*$es un isomorfismo natural del espacio vectorial provisto, nuevamente, $\textrm{dim}\, V$es finita, siendo evidente la demostración ya que la incrustación es una aplicación lineal e inyectiva entre espacios de igual dimensión finita.

La incrustación (1) nos permite definir un espacio vectorial llamado producto tensorial

$$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$$ de espacios vectoriales $V_1,\ldots, V_n$, con el campo común de escalares $\mathbb K$.

El producto tensorial es un subespacio del espacio vectorial${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$de mapas multilineales $F$con

$$F: V^*_1\times \cdots \times V^*_n \ni (f_1,\ldots, f_n) \mapsto F(f_1,\ldots, f_n)\:.$$ La estructura del espacio vectorial en ${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$se define a lo largo de una generalización evidente de (0).

De hecho, si elegimos$v_i \in V_i$por$i=1,\ldots, n$podemos construir el mapa multilineal sobre$V^*_1\times \cdots \times V^*_n$llamado producto tensorial de vectores$v_i \in V_i$como

$$v_1\otimes \cdots \otimes v_n : (f_1,\ldots, f_n) \mapsto f_1(v_1)\cdots f_n(v_n)\:.$$

Definición .$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$es el subespacio de${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$abarcado por todas las combinaciones lineales finitas de productos tensoriales$v_1\otimes \cdots \otimes v_n$por$v_i \in V_i$por$i=1,\ldots, n$.

Resulta que, si$dim V_i$es finito para cada$i$, después$\dim (V_1 \otimes \ldots \otimes V_n) = \prod_{i=1}^n dim V_i$y

$$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n = {\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)\:.$$ (Hay una propiedad del par $(V_1 \otimes \ldots \otimes V_n, \otimes)$llamada propiedad de universalidad que caracteriza la noción de producto tensorial a nivel de la teoría de las categorías, pero no creo que sea necesario describirla aquí.)

Vayamos al producto tensorial hilbertiano de los espacios de Hilbert. Considere un número finito de espacios de Hilbert (complejos)$H_1, \ldots, H_n$con respectivos productos escalares hermitianos$\langle \cdot| \cdot \rangle_1, \ldots, \langle \cdot| \cdot \rangle_n$. Basándonos en la definición anterior, primero podemos definir su producto tensorial algebraico

$$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n\:.$$ Este no es un espacio de Hilbert todavía. Sin embargo, es posible (no tan fácil) demostrar que $H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$admite un producto escalar hermitiano inducido por los de cada $H_i$. Este producto escalar $\langle \cdot| \cdot \rangle$es la única extensión lineal a la derecha y antilineal a la izquierda de $$\langle \psi_1 \otimes \cdots \otimes\psi_n| \phi_1 \otimes \cdots \otimes\phi_n\rangle = \prod_{i=1}^n \langle \psi_i|\phi_i\rangle_i \:.\tag 2$$ Dicha extensión (anti)lineal es necesaria porque $\psi_1 \otimes \cdots \otimes\psi_n$no es el elemento genérico de $H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$, el elemento genérico es una combinación lineal finita de estos elementos.

Resulta que la extensión única (anti)liner de (2) define un producto escalar hermitiano en$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$, en particular la extensión está definida positivamente .

Definición . El producto tensorial hilbertiano de espacios (complejos) de Hilbert$H_1, \ldots, H_n$es el (complejo) espacio de Hilbert$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$dado como la terminación del producto algebraico tensot$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$con respecto al producto escalar hermitiano$\langle\cdot |\cdot \rangle$que únicamente (anti) linealmente se extiende (2).

La finalización$\overline{V}$de un espacio vectorial$V$equipado con un producto escalar hermitiano$\langle \cdot |\cdot \rangle$es el espacio completo (Hilbert) de las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy en$V$equipado con la exclusiva extensión continua de$\langle \cdot |\cdot \rangle$. Por lo tanto, está definido de forma única (hasta los isomorfismos espaciales de Hilbert) y$V$es denso en$\overline{V}$.

Un resultado fundamental (también en QM) es que,

proposición _ Si$\{\psi_{i,j_i}\}_{j_i\in I_j} \subset H_i$es una base de Hilbert (incluso incontable) del espacio de Hilbert$H_i$después

$$\{\psi_{1,j_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{n,j_n}\}_{j_1\in I_1, \ldots,j_n\in I_n } \subset H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$$ es una base de Hilbert de$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$. Por lo tanto$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$es separable si cada$H_i$es separable.

Un segundo resultado importante, muy utilizado en QM, en caso$H_i = L^2(X_i, \mu_i)$dónde$\mu_i$es$\sigma$-finito (como para la medida estándar de Lebesgue sobre$\mathbb R^n$) dice lo siguiente.

proposición _ Asumir$H_i = L^2(X_i, \mu_i)$, dónde$\mu_i$es$\sigma$-finito. Entonces el mapa

$$L^2(X_1, \mu_1)\otimes_H \cdots \otimes_H L^2(X_n, \mu_n) \ni \psi_1\otimes \cdots \otimes \psi_n \mapsto \psi_1 \cdots \psi_n \in L^2(X_1\times \cdots \times X_n, \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n)$$ se extiende de forma continua y lineal de forma única a un isomorfismo espacial de Hilbert.

Arriba$\psi_1 \cdots \psi_n$es el producto puntual estándar

$$\psi_1 \cdots \psi_n(x_1,\ldots,x_n) := \psi_1(x_1) \cdots \psi_n(x_n)\:.$$

NB: En adelante denotaré por$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$el producto tensorial hilbertiano omitiendo el índice$_H$, adoptando así la notación estándar en los libros de texto de Mecánica Cuántica.

Ahora estoy en una posición en la que puedo responder rigurosamente a la pregunta. Primero observe que el espacio dual topológico $H'$de un espacio de Hilbert$H$, ese es el subespacio$H' \subset H^*$hecho de mapas lineales continuos$f : H \to \mathbb C$es un espacio de Hilbert por derecho propio.

En efecto, el célebre teorema de Riesz establece que

teorema _ Si$H$es un espacio de Hilbert con producto escalar$\langle \cdot | \cdot \rangle$, el mapa

$$H \ni \psi \mapsto \langle \psi | \cdot \rangle \in H'$$ es antilineal y biyectiva. Así, cada elemento$f$del espacio dual topológico$H'$está representado por$\langle \psi_f | \cdot \rangle$con$\psi_f \in H$determinado únicamente por$f$.

Obviamente$H'$es el espacio de acortamiento de vectores "bra"$\langle \psi | \cdot \rangle$a$\langle \psi|$.

Es claro que, a la vista del resultado expuesto,$H'$resulta ser un espacio de Hilbert tan pronto como definimos el producto escalar

$$\langle f | g \rangle' := \overline{\langle \psi_f | \psi_g\rangle}\:.$$

Esta característica de$H'$nos permite definir el producto tensorial hilbertiano

$$H_1 \otimes H_2'$$ los elementos son combinaciones lineales (también infinitas siempre que converjan en la topología natural del espacio) de productos tensoriales elementales $$\psi \otimes f = |\psi \rangle \otimes \langle \phi| = |\psi \rangle \langle \phi|$$ donde empleé también algunas notaciones comunes utilizadas en los libros de texto de física.

La diferencia entre$|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$(un elemento de$H_1 \otimes H_2$) y$|\psi \rangle \otimes \langle \phi|$(un elemento de$H_1 \otimes H_2'$) debería ser ahora evidente.

También está claro que$|\psi \rangle \otimes \langle \phi|$define un operador continuo$H_2 \to H_1$. También infinitas combinaciones lineales de estos operadores, supuestas convergentes con respecto al producto escalar natural en$H_1 \otimes H_2'$, define operadores lineales continuos$H_2 \to H_2$. Estos operadores son compactos (transforman conjuntos acotados en conjuntos compactos) y satisfacen una propiedad adicional relacionada con la noción de traza que los caracteriza como operadores de Hilbert-Schmidt de$H_2$a$H_1$.

Como comentario final, observe que$I = \sum_k |\psi_k \rangle \langle \psi_k|$referido a una base de Hilbert$\{\psi_k\}_{k\in K}$no pertenece a la$H_1 \otimes H_2'$a pesar de la notación si$K$no es finito! Esto se debe a que ese vector no tiene una norma finita en$H_1 \otimes H_2'$y la convergencia de la serie tiene que ser interpretada explotando otra topología, la llamada topología de operador fuerte .