¿Cómo una función representada en notación bra-ket se convierte en un vector de solo coeficientes?

Es un descuido de la notación que es muy común en la física. En realidad, tienes

$$|f(x)\rangle = \sum_{n} c_n |\psi_n\rangle.$$ si todos los $|\psi_n\rangle$son linealmente independientes puedes escribir $$|f(x)\rangle \rightarrow \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{array}\right],$$ donde la flecha significa que el vector está representado por el vector columna, pero no son lo mismo. Esto es especialmente cierto si el $|\psi_n\rangle$no son ortonormales: cuando son ortonormales, el producto interno en el espacio vectorial se reproduce fielmente mediante la multiplicación de matrices con la transpuesta conjugada de las matrices de coeficientes. es decir, si $$\begin{align} |\phi(x)\rangle &= \sum_n p_n|\psi_n\rangle \rightarrow \left[\begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \end{array}\right] \Rightarrow\\ \langle \phi(x)|f(x)\rangle & = \sum_{m,n} p_m^* c_n \langle\psi_m|\psi_n\rangle \tag1\\ &=\sum_{m,n} p_m^* c_n \delta_{m,n} \\ &=\sum_{n} p_n^* c_n \\ &= \left[\begin{array}{ccc} p_1^* & p_2^* & \ldots \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{array}\right].\tag2 \end{align}$$

La razón por la que se dice que la representación de matriz y la representación de bra/ket no son exactamente iguales es porque si no tienes$\langle\psi_m|\psi_n\rangle= \delta_{m,n}$(ortonormalidad), entonces la multiplicación de matrices en (2) no sería igual a la suma en (1). Independencia lineal de la$|\psi_n\rangle$es la condición necesaria y suficiente para todos los$c_n$ser fijado únicamente por$|f(x)\rangle$y$\left\{|\psi_n\rangle\right\}$, y la ortonormalidad implica independencia lineal.