Producto tensorial en mecánica cuántica

Question

Producto tensorial en mecánica cuántica

jx9845

En el libro de mecánica cuántica de Cohen-Tannoudji, el producto tensorial de dos dos espacios de Hilbert $(\mathcal H = \mathcal H_1 \otimes \mathcal H_2)$ se introdujo en (2.312) diciendo que para todo par de vectores

| ϕ (1) ⟩ \in H_{1}, | x (2) ⟩ \in H_{2}

$|\phi(1)\rangle \in \mathcal H_1, |\chi(2)\rangle \in \mathcal H_2$ pertenece un vector

| ϕ (1) ⟩ \otimes | x (2) ⟩ \in H

$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle \in \mathcal H$ En una nota a pie de página decía que el orden no importa y que también podríamos llamarlo

| x (2) ⟩ \otimes | ϕ (1) ⟩

$|\chi(2)\rangle \otimes |\phi(1)\rangle$ Estoy un poco confundido, ya que pensé que el orden del producto tensorial generalmente importa. ¿Cómo se vería esa expresión si escogiéramos una base, digamos:

| ϕ (1) ⟩ = a_{1} | {tu}_{1} ⟩ + a_{2} | {tu}_{2} ⟩ + \dots

$|\phi(1)\rangle = a_1|u_1\rangle + a_2|u_2\rangle + \dotsc$

| x (2) ⟩ = b_{1} | v_{1} ⟩ + b_{2} | v_{2} ⟩ + \dots

$|\chi(2)\rangle = b_1|v_1\rangle + b_2|v_2\rangle + \dotsc$

¡Cualquier ayuda será apreciada!

Aceite

Creo que las etiquetas 1 y 2 se usan para realizar un seguimiento de a qué espacio vectorial pertenece cada estado.

jx9845

Sí, pero esto es válido en general para el producto tensorial:

| ϕ (1) ⟩ \otimes | χ (2) ⟩ = | χ (2) ⟩ \otimes | ϕ (1) ⟩

$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle = |\chi(2)\rangle \otimes |\phi(1)\rangle$ ?

ryan unger

@ jx9845 No, solo están eligiendo una convención. Sin embargo, la elección original de la convención fue arbitraria.

Jinawee

O etiqueta sus vectores con un número o tiene que preocuparse por el orden.

jx9845

¿Es porque aún no hemos elegido una base? Y si elegimos uno, ¿cambiaría eso algo?

Aceite

Lo que has escrito es equivalente porque las etiquetas se refieren a los espacios vectoriales. Si tuviera que tomar el orden en que se escriben los estados para referirse al espacio vectorial, se seguiría que

| χ ⟩ \otimes | ϕ ⟩ \neq | ϕ ⟩ \otimes | χ ⟩

$\vert\chi\rangle\otimes \vert \phi\rangle\neq\vert\phi\rangle\otimes\vert\chi\rangle$

yuggib

los espacios

h_{1} \otimes h_{2}

$h_1\otimes h_2$ y

h_{2} \otimes h_{1}

$h_2\otimes h_1$ son isomorfos (es decir, hay una aplicación que relaciona cada vector de uno con un vector del otro y viceversa). Sin embargo, son diferentes, ya que, en general, el producto cartesiano (que es el punto de partida del producto tensorial) define pares ordenados, donde el orden importa.

Respuestas (3)

Producto tensorial en mecánica cuántica

Creo que las etiquetas 1 y 2 se usan para realizar un seguimiento de a qué espacio vectorial pertenece cada estado.
Sí, pero esto es válido en general para el producto tensorial: $|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle = |\chi(2)\rangle \otimes |\phi(1)\rangle$ ?
@ jx9845 No, solo están eligiendo una convención. Sin embargo, la elección original de la convención fue arbitraria.
O etiqueta sus vectores con un número o tiene que preocuparse por el orden.
¿Es porque aún no hemos elegido una base? Y si elegimos uno, ¿cambiaría eso algo?
Lo que has escrito es equivalente porque las etiquetas se refieren a los espacios vectoriales. Si tuviera que tomar el orden en que se escriben los estados para referirse al espacio vectorial, se seguiría que $\vert\chi\rangle\otimes \vert \phi\rangle\neq\vert\phi\rangle\otimes\vert\chi\rangle$
los espacios $h_1\otimes h_2$ y $h_2\otimes h_1$ son isomorfos (es decir, hay una aplicación que relaciona cada vector de uno con un vector del otro y viceversa). Sin embargo, son diferentes, ya que, en general, el producto cartesiano (que es el punto de partida del producto tensorial) define pares ordenados, donde el orden importa.

Ján Lalinský · Answer 1

$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle$ es una notación engorrosa para escribir ket correspondiente a $\psi$ función $\phi(\mathbf r_1)\chi(\mathbf r_2)$ , dónde $\mathbf r_i$ se refiere a las coordenadas del $i$ -ésimo subsistema. Es por eso que el orden de los factores en $\otimes$ el producto no importa; el ket resultante corresponde al mismo $\psi$ función y por lo tanto es el mismo ket.

Por otro lado, $|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle$ (sin etiquetas) debe leerse de acuerdo con una convención diferente; aquí se entiende comúnmente que el orden del factor significa el subsistema al que se refiere. Entonces

$|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle$ denota ket correspondiente a $\phi(\mathbf r_1)\chi(\mathbf r_2)$ Tal como $|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle$ hace, pero :

$|\chi\rangle \otimes |\phi\rangle$ denota ket correspondiente a $\chi(\mathbf r_1)\phi(\mathbf r_2)$ que no es lo mismo. Esto se debe a que el significado diferente de la $\otimes$ se utiliza la notación.

Bien, entonces si uno escribe $|\chi(2)\rangle \otimes |\phi(1)\rangle$ , se da a entender que se trata de un vector en $\mathcal H_1 \otimes \mathcal H_2$ Tal como $\chi(\mathbf r_2)\phi(\mathbf r_1)$ es en $\mathcal H_1 \otimes \mathcal H_2$ , ¿correcto?
Matemáticamente, ket $|\psi\rangle$ no es exactamente lo mismo que la función compleja $\psi(\mathbf r)$ se refiere y los kets no pertenecen al mismo espacio que las funciones $\psi$ hacer. Más exactamente, los kets son de un espacio abstracto de kets $\mathcal H_{kets}$ y funciones normalizables $\psi$ son de $L^2$ espacio de funciones cuadráticamente integrables. Pero no se preocupe por esto, porque respondiendo a su pregunta, esto es en gran parte una distinción sin diferencia.
Para tus ejemplos, diría en $|\chi(2)\rangle|\otimes|\phi(1)\rangle$ el orden no es importante porque las etiquetas lo anulan. Este ket es un miembro del espacio. $\mathcal H^{(kets)}_{1}\otimes\mathcal H^{(kets)}_{2}$ . Este espacio también se puede denotar como $\mathcal H^{(kets)}_{2} \otimes \mathcal H^{(kets)}_{1}$ . Aquí, las etiquetas no necesitan anular ningún orden, porque no hay forma de que el orden de los términos pueda cambiar el significado del producto: siempre es una forma ket del espacio L2 que se genera como tramo lineal de los productos de funciones para los subsistemas. , por lo que no hay ningún orden.
Gracias por sus respuestas. Si estamos siendo matemáticamente rigurosos $\mathcal H^{(kets)}_{1}\otimes\mathcal H^{(kets)}_{2}$ es diferente de $\mathcal H^{(kets)}_{2} \otimes \mathcal H^{(kets)}_{1}$ aunque, ¿verdad? Entonces, ¿consideramos simplemente estos dos espacios vectoriales como iguales en física ya que son isomorfos? Después de todo, si comenzamos con dos partículas y queremos construir el estado del sistema, ¿cómo determinaríamos qué espacio vectorial viene primero en el producto tensorial?
Incluso matemáticamente, estas son solo notaciones diferentes para el mismo espacio resultante; el orden no importa cuando $\otimes$ se utiliza para denotar el producto de espacios.
¿Y si son bosones indistinguibles? Entonces el orden no importaría ¿correcto?
@Noah, no sé a qué te refieres. Mejor si lo explicas y lo publicas como otra pregunta.

invocador · Answer 2

Tienes razón en que el producto tensorial no conmuta en general. El orden de los vectores en algún producto tensorial, digamos

| ψ ⟩ \otimes | ϕ ⟩ \otimes | ξ ⟩ \equiv | tu ⟩

$\begin{equation*} |\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\xi\rangle \equiv |u\rangle \end{equation*}$ se refiere implícitamente a cómo se define el espacio de Hilbert resultante a través del producto tensorial. A los vectores anteriores, asociemos

| ψ ⟩ \in H_{ψ}

$|\psi\rangle\in H_{\psi}$ ,

| ϕ ⟩ \in H_{ϕ}

$|\phi\rangle\in H_{\phi}$ y

| ξ ⟩ \in H_{ξ}

$|\xi\rangle\in H_{\xi}$ . En este caso, implícitamente hemos dicho que el espacio de Hilbert para nuestro vector

| u ⟩

$|u\rangle$ es

| tu ⟩ \in tu \equiv H_{ψ} \otimes H_{ϕ} \otimes H_{ξ}

$\begin{equation*} |u\rangle\in U\equiv H_{\psi}\otimes H_{\phi}\otimes H_{\xi} \end{equation*}$ Solo hay que tener en cuenta el orden en que se forma el espacio de Hilbert subyacente. En cuanto a una descripción física en la teoría cuántica, el orden no tiene importancia.

En concreto, en tu caso cuando dices

| x (2) ⟩ \otimes | ϕ (1) ⟩

$\begin{equation*} |\chi(2)\rangle\otimes |\phi(1)\rangle \end{equation*}$ solo significa que el vector pertenece a

H_{2} \otimes H_{1}

$H_{2}\otimes H_{1}$ , en vez de

H_{1} \otimes H_{2}

$H_{1}\otimes H_{2}$ .

Entonces, si estamos siendo matemáticamente rigurosos, $H_{1}\otimes H_{2} \neq H_{2}\otimes H_{1}$ . Sin embargo, como señaló @Ján Lalinský, los índices anulan el orden del producto tensorial de modo que $|\chi(2)\rangle\otimes |\phi(1)\rangle$ en realidad significa $|\phi(1)\rangle\otimes |\chi(2)\rangle$ y pertenece a $H_{1}\otimes H_{2}$ , ¿correcto?
@ jx9845 Sí, si intercambia el orden de los vectores de esa manera, reemplazando por índice como dice, también cambia el orden de cómo se combinan los espacios más pequeños con el producto tensorial.
Así que si combinamos los estados $|\phi\rangle \in H_1$ y $|\chi\rangle\ \in H_2$ , ¿cómo sabemos en qué espacio va a estar el nuevo estado, es decir $H_1 \otimes H_2$ o $H_2 \otimes H_1$ ? ¿Simplemente elegimos uno y nos quedamos con él?
Eso depende del orden de cómo los combine. Si $|\phi\rangle\otimes |\chi\rangle$ entonces el vector pertenece a $H_{1}\otimes H_{2}$ . Pero como convención futura, primero forme el espacio, luego considere los vectores dentro de él. Si desde el principio estableces $H\equiv H_{1}\otimes H_{2}$ entonces el vector en $H$ se expresa como $|\phi\rangle\otimes |\chi\rangle$ . Y sí, simplemente elige una convención y apégate a ella.
Una regla de 5 minutos me obliga a entrar aquí; arriba hay un error tipográfico, no "convención" sino "convención".

Sofía · Answer 3

Imagine dos partículas diferentes, por ejemplo, un protón y un electrón, el primero descrito por funciones en el espacio de Hilbert $\mathcal H_p$ , y el segundo por funciones en el espacio de Hilbert $\mathcal H_e$ . Ahora supongamos un estado base $\phi_1, \phi_2,...$ en $\mathcal H_p$ y una base $\chi_1, \chi_2,...$ en $\mathcal H_e$ . ¿Tu par de partículas es (protón, electrón) , o es (electrón, protón) ? No importa, ¿verdad? Lo mismo con la descripción del estado del pir,

\begin{matrix} (i) & Ψ = \sum_{i, j} C_{i, j} ϕ_{i} \otimes x_{j} = \sum_{i, j} C_{i, j} x_{i} \otimes ϕ_{j} . \end{matrix}

$\Psi = \sum_{i,j} C_{i,j} \ \phi_i \otimes \chi_j = \sum_{i,j} C_{i,j} \ \chi_i \otimes \phi_j . \tag {i}$

Ahora bien, existe una situación en la que el orden es importante: cuando las funciones $\chi$ y $\phi$ tienen el mismo aspecto, por ejemplo, las funciones propias del spin- $z$ operador de proyección, $|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$ . En este caso en lugar de mencionar por subíndices a qué partícula nos referimos, asumimos un orden, por ejemplo en cada producto de estados escribimos primero el estado del electrón, y segundo el del protón: $|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle$ significa que el electrón tiene spin-up y el protón spin-down.

Así es su descripción en $(i)$ solo es válido porque los elementos base $\phi_k$ y $\chi_l$ son diferentes para todos los k,l? no es $\phi_i \otimes \chi_j$ diferente de $\chi_i \otimes \phi_j$ ¿aunque? Después de todo $\phi_i$ y $\phi_j$ son funciones completamente diferentes y lo mismo ocurre con el $\chi$ 's.

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