Matrices en notación de Dirac

Este es el formalismo de Dirac. Es una generalización a base continua, es decir, los enumerados por un índice que toma valores en un conjunto continuo como$\mathbb{R}^n$.

En ese escenario tienes eso de la misma manera que$|e_n\rangle$es una base discreta que le permite descomponer

$$|\psi\rangle=\sum_{n}\langle e_n|\psi\rangle |e_n\rangle,$$

y con respecto a la cual se cumple la relación de clausura

$$\sum_{n}|e_n\rangle\langle e_n|=\mathbf{1}$$

suponemos que podemos tener una base$|x\rangle$enumerado por algún parámetro continuo como$x\in \mathbb{R}$, tal que podemos descomponer

$$|\psi\rangle=\int \langle x|\psi\rangle |x\rangle dx$$

con relación de cierre

$$\int|x\rangle \langle x|dx = \mathbf{1}.$$

El tema es que mas o menos si$A$es un operador compacto, el teorema espectral asegurará que tenga una base ortonormal discreta de vectores propios$|a_n\rangle$tal que$A|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle$(Supongo que no degenerado por simplicidad).

Cuando$A$es ilimitada como sucede a menudo en QM, no existe tal base. Pero usted supone que el tipo anterior de base generalizada existe. Así que si$X$no está acotado, se supone que para cada valor propio$x\in \sigma(X)$el espectro de$X$hay un ket estatal$|x\rangle$con$X|x\rangle = x|x\rangle$y formando una base.

Tenga en cuenta que siempre que tenga operadores de posición y momento$X,P$quieres requerir$[X,P]=i\hbar$y hay un teorema que asegura que al menos uno de ellos será ilimitado, por lo que entonces se necesitará lo anterior.

Esto es importante debido a los postulados de QM. Los observables son operadores hermitianos. Los posibles valores a medir son exactamente los valores en el espectro, es decir, los "valores propios" y los estados con valor definido de la cantidad son los vectores propios, el valor medido es entonces el valor propio correspondiente.

Entonces se postula que si$A$es el observable con base continua$|a\rangle$después$\rho(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2$es la densidad de probabilidad de encontrar el valor de$A$en el estado$|\psi\rangle$estar entre$a$y$a+da$.

Luego conectas esto con la mecánica ondulatoria. Considere una partícula en una dimensión. Tenemos el observable$X$correspondiente a la posición. Dejar$|S(t)\rangle$ser el estado en el momento$t$. Como sabemos, la posición puede asumir cualquier valor posible, por lo que$\sigma(X)=\mathbb{R}$. Dejar$x\in \mathbb{R}$, el vector propio generalizado correspondiente es$|x\rangle$. La probabilidad de encontrar la partícula entre$x$y$x+dx$es entonces$\rho(x) = |\langle x|\psi\rangle|^2$.

Entonces, haciendo contacto con la mecánica ondulatoria, vemos que$\Psi(x,t)=\langle x|S(t)\rangle$Por supuesto.

Como comentario final, todo lo relacionado con los vectores propios generalizados y la base continua del formalismo de Dirac es extremadamente útil y elegante, pero no es riguroso. En un análisis funcional riguroso, no existe un vector propio para los operadores ilimitados y estas expansiones no están definidas. Sin embargo, hay una solución alternativa que hace que todo tenga sentido, llamada el enfoque del triplete Gel'fand.

Una forma simple (pero no rigurosa) de pensar en esto:

Tu espacio Hilbert$\mathcal{H}$está formado por funciones integrables al cuadrado en la línea real, es decir, elementos de$\mathcal{H}$están dados por mapas$\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$tal que$\int_{-\infty}^{\infty} dx \,|\psi(x)|^2$es finito, por ejemplo, un gaussiano,$\psi(x) = e^{-x^2/2}$.

Cada "ket" que anotas$|\psi\rangle$está representando algún mapa$\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$.

Productos internos de dos de estos kets.$|\psi\rangle, |\phi \rangle$simplemente está dado por$\langle \psi| \phi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx\, \psi^*(x) \phi(x)$dónde$\psi(x), \phi(x)$son los mapas correspondientes a esos kets.

Una forma sencilla de pensar en el autoconsumo de posición$|f_y\rangle$es solo que representa la "función"$f_{y}(x) = \delta(x-y).$Estas son precisamente las "funciones propias" del operador de posición$\hat{x} : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$el cual toma$\psi(x) \rightarrow x\ \psi(x)$. Eso es$f_{y}(x)$son las únicas funciones que resuelven la ecuación de valor propio$\hat{x} f_y(x) = \lambda f_y(x)$con valor propio$\lambda = y$. La razón de las comillas alrededor de la palabra función y función propia es que$f_y(x)$no son integrables en cuadrado, es decir, no están realmente en$\mathcal{H}$.

Hacer que estas nociones sean precisas y rigurosas es el tema del análisis funcional.

Lo importante a tener en cuenta (y que no siempre se enfatiza en los libros) es que la función de onda$\psi$es en realidad la colección de los coeficientes que representan el estado del sistema en una base dada.

el vector$|S\rangle$es un elemento completamente abstracto de un espacio vectorial que por medio de un postulado representará completamente el estado del sistema. Digamos que tienes un observable$A$con valores propios$a$y estados propios correspondientes$|a\rangle$,

$$A|a\rangle=a|a\rangle,$$ entonces el estado $|S\rangle$se puede expandir en la base $\{|a\rangle\}$, $$|S\rangle=\sum_a\psi(a)|a\rangle.$$ La colección de coeficientes $\psi(a)$es la función de onda asociada al estado $S$en la base definida por el observable $A$. Si lo observable $A$tienen valores propios continuos, entonces la suma anterior se reemplaza por una integral y la colección $\{\psi(a)\}$tiene infinitos elementos y en realidad es una función continua en la variable $a$.

Ahora consideremos el ejemplo concreto del estado del sistema en la base definida por posición. Si el operador$\hat x$tiene estado propio$|x\rangle$con valor propio$x'$, después

$$\hat x|x\rangle=x'|x\rangle,$$ Dado que la función de onda de este estado es simplemente $\psi(x)$, la ecuación anterior se puede escribir como $$x\psi(x)=x'\psi(x)\Rightarrow (x-x')\psi(x)=0.$$ La última ecuación dice que $\psi(x)$es distinto de cero sólo cuando $x=x'$, es decir, $$\psi(x-x')=\delta(x-x').$$ Ahora considere el producto interno de un estado arbitrario $$|S\rangle=\int\psi(x)|x\rangle dx,$$ con un estado propio de posición $|x'\rangle$, $$\langle x'|S\rangle=\int\delta(x-x')\psi(x)dx=\psi(x').$$ Ya que $x'$es arbitrario podemos decir que $$\langle x|S\rangle=\psi(x),$$ que es la función de onda en la representación de posición.