Confusión con las propiedades básicas del bra-ket

Dada una partícula cuya posición puede estar en cualquier parte del X -eje podemos escribir lo siguiente:

X ^ | X ′ ⟩ = X ′ | X ′ ⟩

y entonces podemos escribir el postulado de expansión como:

| ψ ⟩ = ∫ ⟨ X ′ | ψ ⟩ | X ′ ⟩ d X ′

De donde hacemos la asociación:

ψ ( X ′ ) = ⟨ X ′ | ψ ⟩

Esto lo entiendo muy bien. Sin embargo, en nuestras notas, las siguientes líneas me desconciertan un poco. Proceden de la siguiente manera:

Tomando el producto escalar de | ψ ⟩ & | X ⟩ obtenemos:

⟨ X | ψ ⟩ = ∫ ⟨ X | X ′ ⟩ ⟨ X ′ | ψ ⟩ d X ′

Y así vemos que la forma integral de la resolución de la identidad es:

∫ | X ⟩ ⟨ X | d X = 1

Lo anterior es una transcripción palabra por palabra de nuestras notas. La forma en que estoy pensando en esto es que los vectores propios | X ′ ⟩ esencialmente representan funciones delta en el punto X ′ , y entonces ψ ( X ′ ) como está escrito arriba nos dice el valor de ψ ( X ) EN X ′ .

Sin embargo, no entiendo la parte donde tomamos el producto interno. ⟨ X | ψ ⟩ . Veo la motivación, que creo que es obtener una expresión que podemos identificar como ψ ( X ) , pero no entiendo cómo pasamos de la integral a la resolución de la expresión de identidad. ¿Cómo se han manipulado los sujetadores y los ket de esta manera? ¿Tiene que ver con el hecho de que ⟨ X | & | ψ ⟩ no tienen una dependencia explícita de X ′ ?

Cualquier ayuda muy apreciada. Entiendo que esta es una pregunta básica, ¡así que pido disculpas si se ha hecho hasta la muerte!

Lo sabes ⟨ X | X ′ ⟩ = d ( X − X ′ )   ?
Las notas en realidad usan esto para justificar eso: dicen que debido a las propiedades anteriores podemos ver que ese es el caso. Estoy de acuerdo, y tiene sentido, pero realmente no entiendo cómo se han manipulado los sostenes y los kets.

Respuestas (1)

⟨ X | ψ ⟩ = ∫ ⟨ X | X ′ ⟩ ⟨ X ′ | ψ ⟩ d X ′
⟨ X | ψ ⟩ = ⟨ X | ( ∫ d X ′ | X ′ ⟩ ⟨ X ′ | ) | ψ ⟩
porque como usted ha dicho, ⟨ X | y | ψ ⟩ son independientes de X ′ y el producto escalar es lineal. Y ahora vemos inmediatamente que los paréntesis deben ser iguales 1 .

Si he entendido mal su pregunta, dígame en el comentario y con gusto eliminaré esta respuesta.

Oh, eso es mucho más obvio cuando lo escribes así... No puedo creer que no lo haya notado. ¡Gracias!
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