Producto tensorial de operadores en QM

En primer lugar, la ecuación

$$\begin{equation}A\otimes B=A\otimes \mathbb{1}+\mathbb{1}\otimes B,\end{equation}$$ es una afirmación sobre una identidad, y esta afirmación es incorrecta. Tenga en cuenta que para $1\times 1$matrices, las matrices son números y la ecuación anterior se reduce a $$a\cdot b = a\cdot 1 + 1 \cdot b$$ lo cual es claramente incorrecto porque la suma (el lado derecho es solo $a+b$) es algo más que la multiplicación!

Si tenemos un espacio de Hilbert$H = H_A \otimes H_B$y hay un cambio de base en el espacio de Hilbert$H_A$por separado y en$H_B$por separado, el cambio de base en el espacio de Hilbert$H = H_A \otimes H_B$es el producto tensorial de las dos matrices de transformación,$A\otimes B$, en su notación (también expresada en forma de bloque usando esos$a_{11}B$etc) y no$A\otimes 1 + 1\otimes B$.

Esto se calcula fácilmente. Los vectores base se transforman como

$$a_j = a'_i \cdot A_{ij}, \quad b_j = b'_i\cdot B_{ij}$$ (o cambiar el orden de los índices o qué lado tiene el primo o invertir la matriz o transponerla, etc. – al menos algunas de estas elecciones son convenciones; debe tener cuidado de usar convenciones consistentes todo el tiempo) y los vectores base de $H_A\otimes H_B$son $$a_j\otimes b_\ell = a'_i \cdot A_{ij}\otimes b'_k\cdot B_{k\ell} = (a'_i\otimes b'_k) \cdot A_{ij}B_{k\ell}$$ La regla aquí es que, algebraicamente, la multiplicación de tensores se trata como una multiplicación normal (sin identificación de índices ni suma de índices). La matriz de transformación en $H_A\otimes H_B$es, por lo tanto $A_{ij}B_{k\ell}$dónde $i,k$son partes del "primer" índice generalizando $i$o $k$, y $j,\ell$son análogamente el segundo índice.

La expresion

$$A\otimes 1 + 1\otimes B$$ también es importante y aparece en muchos lugares, pero debemos discutir las "derivadas", los cambios bajo las transformaciones infinitesimales. Es porque la expresión anterior es análoga a la regla de Leibniz para la derivada del producto $$(ab)' = a'b + ab'$$ En mecánica cuántica, las derivadas también pueden representarse como conmutadores. Por ejemplo, si $\vec J$es el operador del momento angular total, entonces $$[J_z,A]$$ es el operador que mide la $z$-componente del momento angular transportado por el operador $A$. Del mismo modo para $B$. Debido a que podemos descomponer el conmutador con un producto a la suma de dos términos similares al conmutador, $$[J_z,AB] = J_z AB - AB J_z = J_z AB - A J_z B + A J_z B - AB J_z = [J_z,A]B+A[J_z,B]$$ uno puede ver que el resultado de actuar con $J_z$en conjunto $AB$es la suma de dos términos: el momento angular de $A$y el momento angular de $B$. Esos dan los dos términos que mencionaste porque el momento angular de $A$solo actúa como $J_z^A$en el espacio $H_A$, pero actúa como el operador de identidad (uno) en el espacio $H_B$, y viceversa, y por eso tienes los productos tensoriales con la matriz identidad.

Entonces las expresiones$A\otimes 1+1\otimes B$aparecería pero no si considerara un cambio "finito" de las bases, pero si solo considerara cambios de bases que están "infinitesimalmente cerca" del cambio de identidad (ningún cambio en absoluto), y si tomara una diferencia entre estos dos expresiones (una derivada con respecto a algunos parámetros que etiquetan el cambio de las bases, tomadas cerca de la transformación trivial).

En términos de grupos y álgebras, la sencilla$A\otimes B$nos da la matriz de una transformación finita en el grupo de Lie que actúa sobre la representación tensorial-producto$H_A\otimes H_B$. Por otro lado,$A\otimes 1+1\otimes B$es la forma del generador de álgebra de Lie con respecto al mismo espacio. Los elementos de las álgebras de Lie son matrices/operadores$(g-1)/\epsilon$dónde$g$es un elemento de grupo infinitesimalmente cercano a la identidad$1$del grupo Mentira.

Agregando a la respuesta de Lubos, permítanme abordar esta parte de manera más específica:

Estoy muy confundido acerca de esto, en realidad, supongo que las transformaciones que se pueden escribir$A⊗B$son un subconjunto de todas las transformaciones posibles con los 16 coeficientes libres.

Esto es correcto. Primero algo de notación: Sea$H_1$y$H_2$ser dos espacios de Hilbert (de dimensión finita) para dos sistemas cuánticos, y$End(H_1), End(H_2)$Sea el espacio vectorial de los operadores que actúan sobre estos espacios. Como saben, si queremos considerar ambos sistemas al mismo tiempo, consideramos el producto tensorial$H_1 \otimes H_2$. Dejar$dim(H_1) = n$con base$\{v_i\}$y$dim(H_2) = n$con base$\{w_j\}$, y tenga en cuenta que desde$H_1 \otimes H_2$tiene base$\{v_i \otimes w_j\}$,$dim(H_1 \otimes H_2) = nm$. Esto significa que el vector más general$x \in H_1 \otimes H_2$Se puede escribir como

$$x = \sum_{i,j} c_{ij} v_i \otimes w_j ,$$ así que necesitamos $nm$coeficientes para especificar un vector aquí. También existe el subespacio que consta de estados "puros", que se pueden factorizar como $x = v \otimes w$. Este es un subconjunto de todos los vectores posibles y, de hecho, es isomorfo a $H_1 \times H_2$, el producto directo (también comúnmente escrito como $H_1 \oplus H_2$, y se llama suma directa). En otras palabras, el producto tensorial contiene una copia del producto directo, que tiene dimensión $n+m$, por lo que NO todos los estados se pueden escribir de forma factorizada, ya que $n+m < nm$(suponiendo que las dimensiones de estos espacios son mayores que uno).

La situación de los operadores que actúan sobre$H_1 \otimes H_2$es exactamente similar: Naturalmente, tenemos$End(H_1 \otimes H_2) = End(H_1)\otimes End(H_2)$, que tendría dimensión$n^2m^2$(=16 para su ejemplo), y contiene un subespacio isomorfo a$End(H_1) \times End(H_2)$que consta de operadores de la forma$A\otimes B$, que tiene dimensión$n^2 + m^2$(= 8 para su ejemplo).

Lo más importante a tener en cuenta es que el producto tensorial es muy diferente del producto directo/suma directa.